As seguintes equações diferenciais fornecem modelos matematicos para vários processos. Quais deles são lineares e quais sło não lineares?
Processo 1:
Passo 1
O enunciado pede que identifique quais das equações diferenciais dadas são lineares e quais são não lineares. As informações fornecidas (extraídas do enunciado) são as seguintes equações e constantes:
-
Equação (A):
. -
Sistema (B):
comconstantes. -
Sistema (C):
comconstantes.
O que é pedido: para cada equação / sistema acima, dizer se é linear ou não linear.
Passo 2
Conceito prático — o que significa “linear” aqui (explicação didática e sem pular etapas).
- Para uma equação diferencial escalar (uma incógnita
), dizemos que a equação é linear se puder ser escrita na forma
onde cada coeficiente
depende apenas da variável independente
(ou é constante) e
é uma função conhecida de
. Importante: os termos devem ser lineares em
e suas derivadas — isto é, não podem aparecer produtos entre
(ou suas derivadas) nem potências como
, nem funções não-lineares de
(por exemplo
,
, etc.).
- Para um sistema com incógnitas
, dizemos que o sistema é linear se cada equação for linear nas incógnitas e nas suas derivadas; em notação de matrizes isso equivale a escrever algo como
onde
são matrizes cujas entradas dependem apenas de
(ou são constantes) e
é um vetor conhecido. Novamente, proibidos produtos entre componentes
e suas derivadas, potências, ou funções não-lineares das incógnitas.
Passo 3
Aplicando o conceito à Equação (A):
.
- Observe os termos que envolvem a incógnita
: há o termo . Esse termo é o produto da função e da sua derivada . - Pela definição de linearidade, produtos entre
e são termos não-lineares — eles fazem a equação NÃO ser da forma . - Conclusão técnica: a presença de
viola a linearidade, logo a equação (A) é não linear.
Comentário pedagogico rápido: um modo prático de testar é perguntar “posso escrever todos os termos que envolvem
como coeficientes que dependem só de
multiplicando
ou suas derivadas?” Para (A) a resposta é não, porque o coeficiente de
seria
— que depende de
e não somente de
.
Passo 4
Aplicando o conceito ao Sistema (B):
com
constantes.
- Cada equação é uma combinação linear das derivadas
e ; os coeficientes ( ) são constantes, portanto dependem apenas de de forma trivial (não dependem das incógnitas). - O lado direito de cada equação é uma função conhecida de
(a soma ), permitida numa equação linear como termo inhomogêneo. - Não há produtos entre incógnitas ou entre incógnitas e suas derivadas, nem potências de incógnitas, nem funções não-lineares de
. - Logo, cada equação do sistema é linear. Consequentemente o sistema (B) é um sistema linear de equações diferenciais (pode ser escrito em forma matricial
com constante).
Passo 5
Aplicando o conceito ao Sistema (C):
com
constantes.
- Olhe para a primeira equação: há o termo
. Esse é um produto entre a incógnita e a derivada . Conforme a definição, esse tipo de termo torna a equação não linear. - A segunda equação, isoladamente, é linear: é uma combinação linear das derivadas com coeficientes constantes e tem no lado direito uma função conhecida de
. - No entanto, para que o sistema inteiro seja linear, todas as equações do sistema precisam ser lineares nas incógnitas. Como a primeira equação é não linear, o sistema (C) como um todo é considerado NÃO LINEAR.
- Observação didática: mesmo que apenas uma equação do sistema contenha um termo não-linear, isso acarreta que métodos e teoria de sistemas lineares (superposição, matrizes exponenciais, etc.) não se aplicam diretamente; por isso chamamos o sistema inteiro de não linear.
Passo 6
Resumo do diagnóstico (passos feitos e razões rápidas, para fixar a ideia):
- Regra prática a decorar: “Se aparecer produto entre incógnitas ou entre incógnita e derivada, ou potência de incógnita, ou função não linear de incógnita, então é não linear.”
- Para sistemas, checar cada equação individualmente; se alguma for não linear, o sistema é não linear.
Resposta
— linear