As seguintes equações diferenciais fornecem modelos matematicos para vários processos. Quais deles são lineares e quais sło não lineares?
Processo 1:
\begin{aligned} & y \frac{d y}{d t}+y=10 t+5 \\ & a_{1} \frac{d y_{1}}{d t}+a_{2} \frac{d y_{2}}{d t}=m_{1}(t)+d_{1}(t) \\ & b_{1} \frac{d y_{1}}{d t}+b_{2} \frac{d y_{2}}{d t}=m_{2}(t)+d_{2}(t) \\ & a_{1}, a_{2}, b_{1} e b_{2} s \tilde{o} \text { constantes. } \\ & a_{1} \frac{d y_{1}}{d t}+y_{1} \frac{d y_{2}}{d t}=m_{1}(t) \\ & b_{1} \frac{d y_{1}}{d t}+b_{2} \frac{d y_{2}}{d t}=\text { cos } \omega t \\ & a_{1}, b_{1}, b_{2} e \omega s \tilde{o} \text { constantes. } \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede que identifique quais das equações diferenciais dadas são lineares e quais são não lineares. As informações fornecidas (extraídas do enunciado) são as seguintes equações e constantes:
  • Equação (A): \,y \dfrac{d y}{d t}+y=10 t+5\,.
  • Sistema (B):
    \,a_{1}\dfrac{d y_{1}}{d t}+a_{2}\dfrac{d y_{2}}{d t}=m_{1}(t)+d_{1}(t)\,
    \,b_{1}\dfrac{d y_{1}}{d t}+b_{2}\dfrac{d y_{2}}{d t}=m_{2}(t)+d_{2}(t)\,
    com \,a_{1},a_{2},b_{1},b_{2}\, constantes.
  • Sistema (C):
    \,a_{1}\dfrac{d y_{1}}{d t}+y_{1}\dfrac{d y_{2}}{d t}=m_{1}(t)\,
    \,b_{1}\dfrac{d y_{1}}{d t}+b_{2}\dfrac{d y_{2}}{d t}=\cos\omega t\,
    com \,a_{1},b_{1},b_{2},\omega\, constantes.
O que é pedido: para cada equação / sistema acima, dizer se é linear ou não linear.

Passo 2

Conceito prático — o que significa “linear” aqui (explicação didática e sem pular etapas).
  • Para uma equação diferencial escalar (uma incógnita y(t)), dizemos que a equação é linear se puder ser escrita na forma
a_n(t)\,y^{(n)} + a_{n-1}(t)\,y^{(n-1)} + \cdots + a_1(t)\,y' + a_0(t)\,y = g(t),
onde cada coeficiente a_i(t) depende apenas da variável independente t (ou é constante) e g(t) é uma função conhecida de t. Importante: os termos devem ser lineares em y e suas derivadas — isto é, não podem aparecer produtos entre y (ou suas derivadas) nem potências como y^2, nem funções não-lineares de y (por exemplo \sin y, e^{y}, etc.).
  • Para um sistema com incógnitas \,y_1(t),y_2(t),\dots, dizemos que o sistema é linear se cada equação for linear nas incógnitas e nas suas derivadas; em notação de matrizes isso equivale a escrever algo como
A(t)\,\mathbf{y}'(t) + B(t)\,\mathbf{y}(t) = \mathbf{f}(t),
onde A(t),B(t) são matrizes cujas entradas dependem apenas de t (ou são constantes) e \mathbf{f}(t) é um vetor conhecido. Novamente, proibidos produtos entre componentes y_i e suas derivadas, potências, ou funções não-lineares das incógnitas.

Passo 3

Aplicando o conceito à Equação (A): \,y \dfrac{d y}{d t}+y=10 t+5\,.
  • Observe os termos que envolvem a incógnita y: há o termo y \dfrac{d y}{d t}. Esse termo é o produto da função y(t) e da sua derivada y'(t).
  • Pela definição de linearidade, produtos entre y e y' são termos não-lineares — eles fazem a equação NÃO ser da forma a_1(t) y' + a_0(t) y = g(t).
  • Conclusão técnica: a presença de y\cdot y' viola a linearidade, logo a equação (A) é não linear.
Comentário pedagogico rápido: um modo prático de testar é perguntar “posso escrever todos os termos que envolvem y como coeficientes que dependem só de t multiplicando y ou suas derivadas?” Para (A) a resposta é não, porque o coeficiente de y' seria y(t) — que depende de y e não somente de t.

Passo 4

Aplicando o conceito ao Sistema (B):
\begin{aligned} & a_{1}\dfrac{d y_{1}}{d t}+a_{2}\dfrac{d y_{2}}{d t}=m_{1}(t)+d_{1}(t),\\\ & b_{1}\dfrac{d y_{1}}{d t}+b_{2}\dfrac{d y_{2}}{d t}=m_{2}(t)+d_{2}(t), \end{aligned}
com \,a_{1},a_{2},b_{1},b_{2}\, constantes.
  • Cada equação é uma combinação linear das derivadas \dfrac{d y_{1}}{d t} e \dfrac{d y_{2}}{d t}; os coeficientes ( a_1,a_2,b_1,b_2) são constantes, portanto dependem apenas de t de forma trivial (não dependem das incógnitas).
  • O lado direito de cada equação é uma função conhecida de t (a soma m_i(t)+d_i(t)), permitida numa equação linear como termo inhomogêneo.
  • Não há produtos entre incógnitas ou entre incógnitas e suas derivadas, nem potências de incógnitas, nem funções não-lineares de y_1,y_2.
  • Logo, cada equação do sistema é linear. Consequentemente o sistema (B) é um sistema linear de equações diferenciais (pode ser escrito em forma matricial A\,\mathbf{y}'=\mathbf{f}(t) com A constante).

Passo 5

Aplicando o conceito ao Sistema (C):
\begin{aligned} & a_{1}\dfrac{d y_{1}}{d t}+y_{1}\dfrac{d y_{2}}{d t}=m_{1}(t),\\\ & b_{1}\dfrac{d y_{1}}{d t}+b_{2}\dfrac{d y_{2}}{d t}=\cos\omega t, \end{aligned}
com \,a_{1},b_{1},b_{2},\omega\, constantes.
  • Olhe para a primeira equação: há o termo y_{1}\dfrac{d y_{2}}{d t}. Esse é um produto entre a incógnita y_{1}(t) e a derivada \dfrac{d y_{2}}{d t}. Conforme a definição, esse tipo de termo torna a equação não linear.
  • A segunda equação, isoladamente, é linear: é uma combinação linear das derivadas com coeficientes constantes e tem no lado direito uma função conhecida de t.
  • No entanto, para que o sistema inteiro seja linear, todas as equações do sistema precisam ser lineares nas incógnitas. Como a primeira equação é não linear, o sistema (C) como um todo é considerado NÃO LINEAR.
  • Observação didática: mesmo que apenas uma equação do sistema contenha um termo não-linear, isso acarreta que métodos e teoria de sistemas lineares (superposição, matrizes exponenciais, etc.) não se aplicam diretamente; por isso chamamos o sistema inteiro de não linear.

Passo 6

Resumo do diagnóstico (passos feitos e razões rápidas, para fixar a ideia):
  • Regra prática a decorar: “Se aparecer produto entre incógnitas ou entre incógnita e derivada, ou potência de incógnita, ou função não linear de incógnita, então é não linear.”
  • Para sistemas, checar cada equação individualmente; se alguma for não linear, o sistema é não linear.

Resposta

y \dfrac{d y}{d t}+y=10 t+5\) — não linear \(\begin{cases}a_{1}\dfrac{d y_{1}}{d t}+a_{2}\dfrac{d y_{2}}{d t}=m_{1}(t)+d_{1}(t)\\[4pt] b_{1}\dfrac{d y_{1}}{d t}+b_{2}\dfrac{d y_{2}}{d t}=m_{2}(t)+d_{2}(t)\end{cases} — linear
\begin{cases}a_{1}\dfrac{d y_{1}}{d t}+y_{1}\dfrac{d y_{2}}{d t}=m_{1}(t)\\[4pt] b_{1}\dfrac{d y_{1}}{d t}+b_{2}\dfrac{d y_{2}}{d t}=\cos\omega t\end{cases} — não linear]

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