Cálculo da matriz exponencial
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
- O enunciado fornece o sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem:
com as condições iniciais
- Reescrevendo em forma vetorial, temos um vetor de estado
e uma matriz tal que o sistema pode ser escrito como
com uma condição inicial
.
- O que se pede: encontrar a solução
para . Uma forma organizada é calcular a exponencial da matriz , ou seja, .]
Passo 2
Transformar o sistema na forma matricial e escrever a estratégia (sem calcular ainda).
- Das equações dadas isolamos as derivadas:
- Em forma matricial:
- Explicação didática curta sobre método: para resolver
usamos a exponencial de matriz , porque a solução geral é
Quando
é diagonalizável, isto é, existe
invertível e diagonal
com
, então
e
é fácil de calcular: é a diagonal com entradas
. Vou usar exatamente esse método (diagonalização), explicando cada passo.]
Passo 3
Calcular autovalores de
(passo a passo da característica).
- A matriz é
- O polinômio característico é
. Para uma a fórmula é direta:
- Desenvolvendo:
- Então somando o termo
(pois ) obtemos
- Logo os autovalores satisfazem
, isto é
Portanto
e
.]
Passo 4
Encontrar um autovetor associado a
(passo a passo e interpretação).
- Para
resolvemos , ou seja
- Isso dá o sistema linear (usando componentes
):
As duas equações são múltiplas, então basta uma:
.
- Resolvendo:
. Escolhemos (normalização livre) e obtemos o autovetor
- Interpretação prática: qualquer múltiplo de
é autovetor de .]
Passo 5
Encontrar um autovetor associado a
(passo a passo).
- Para
resolvemos , ou seja
- Isso fornece, por exemplo,
que simplifica para . - Escolhendo
obtemos o autovetor
Passo 6
Montar a matriz de autovetores
, calcular
de forma explícita.
- Colocando os autovetores como colunas:
de modo que
.
- Para
a inversa é fácil: se então
- Aqui
. Assim
Passo 7
Expressar a condição inicial nas coordenadas da base de autovetores (cálculo de coeficientes).
- Precisamos escrever
como combinação linear das colunas de :
onde
é o vetor de coeficientes. Logo
.
- Calculando:
- Interpretação:
.]
Passo 8
Construir a solução
usando a diagonalização e escrever as componentes
e
.
- Pela propriedade da exponencial de matriz diagonalizável:
- Aplicando
. Como já temos , é prático escrever
- Substituindo valores:
, então
- Multiplicando por
:
- Assim as componentes da solução são
- (Verificação rápida: em
obtém-se , , que conferem com as condições iniciais.)]