Cálculo da matriz exponencial
\begin{aligned} & \dot{x}+5 x-12 y=0 \\\ & \dot{y}+2 x-5 y=0 \\\ & x(0)=8, \quad y(0)=3 \end{aligned}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • O enunciado fornece o sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem:
\dot{x}+5x-12y=0, \qquad \dot{y}+2x-5y=0,
com as condições iniciais
x(0)=8,\qquad y(0)=3.
  • Reescrevendo em forma vetorial, temos um vetor de estado X(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\[4pt]y(t)\end{pmatrix} e uma matriz A tal que o sistema pode ser escrito como
\dot{X}=A X,
com uma condição inicial X(0)=\begin{pmatrix}8\\[4pt]3\end{pmatrix}.
  • O que se pede: encontrar a solução X(t) para t\ge0. Uma forma organizada é calcular a exponencial da matriz A, ou seja, X(t)=e^{At}X(0).]

Passo 2

Transformar o sistema na forma matricial e escrever a estratégia (sem calcular ainda).
  • Das equações dadas isolamos as derivadas:
\dot{x}=-5x+12y,\qquad \dot{y}=-2x+5y.
  • Em forma matricial:
\dot{X}=\begin{pmatrix}-5 & 12\\[4pt]-2 & 5\end{pmatrix}X, \qquad X(0)=\begin{pmatrix}8\\[4pt]3\end{pmatrix}.
  • Explicação didática curta sobre método: para resolver \dot{X}=AX usamos a exponencial de matriz \,e^{At}\,, porque a solução geral é
X(t)=e^{At}X(0).
Quando A é diagonalizável, isto é, existe V invertível e diagonal D com A=V D V^{-1}, então
e^{At}=V e^{D t} V^{-1},
e e^{D t} é fácil de calcular: é a diagonal com entradas e^{\lambda_i t}. Vou usar exatamente esse método (diagonalização), explicando cada passo.]

Passo 3

Calcular autovalores de A (passo a passo da característica).
  • A matriz é
A=\begin{pmatrix}-5 & 12\\[4pt]-2 & 5\end{pmatrix}.
  • O polinômio característico é \det(A-\lambda I). Para uma 2\times2 a fórmula é direta:
\det\!\begin{pmatrix}-5-\lambda & 12\\[4pt]-2 & 5-\lambda\end{pmatrix} =(-5-\lambda)(5-\lambda)-12\cdot(-2).
  • Desenvolvendo:
(-5-\lambda)(5-\lambda)=(-5)(5)+(-5)(-\lambda)+(-\lambda)(5)+(-\lambda)(-\lambda) = -25+5\lambda-5\lambda+\lambda^2=\lambda^2-25.
  • Então somando o termo +24 (pois -12\cdot(-2)=24) obtemos
\det(A-\lambda I)=\lambda^2-25+24=\lambda^2-1.
  • Logo os autovalores satisfazem \lambda^2-1=0, isto é
\lambda=\pm 1.
Portanto \lambda_1=1 e \lambda_2=-1.]

Passo 4

Encontrar um autovetor associado a \lambda_1=1 (passo a passo e interpretação).
  • Para \lambda=1 resolvemos (A-I)v=0, ou seja
\begin{pmatrix}-5-1 & 12\\[4pt]-2 & 5-1\end{pmatrix}v = \begin{pmatrix}-6 & 12\\[4pt]-2 & 4\end{pmatrix}v=0.
  • Isso dá o sistema linear (usando componentes v=(v_1,v_2)^T):
-6v_1+12v_2=0, \qquad -2v_1+4v_2=0.
As duas equações são múltiplas, então basta uma: -2v_1+4v_2=0.
  • Resolvendo: -2v_1+4v_2=0 \Rightarrow v_1=2v_2. Escolhemos v_2=1 (normalização livre) e obtemos o autovetor
v^{(1)}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
  • Interpretação prática: qualquer múltiplo de \begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix} é autovetor de \lambda=1.]

Passo 5

Encontrar um autovetor associado a \lambda_2=-1 (passo a passo).
  • Para \lambda=-1 resolvemos (A+I)v=0, ou seja
\begin{pmatrix}-5+1 & 12\\[4pt]-2 & 5+1\end{pmatrix}v = \begin{pmatrix}-4 & 12\\[4pt]-2 & 6\end{pmatrix}v=0.
  • Isso fornece, por exemplo, -4v_1+12v_2=0 que simplifica para v_1=3v_2.
  • Escolhendo v_2=1 obtemos o autovetor
v^{(2)}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Montar a matriz de autovetores V, calcular V^{-1} de forma explícita.
  • Colocando os autovetores como colunas:
V=\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}, \qquad D=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix},
de modo que A=V D V^{-1}.
  • Para 2\times2 a inversa é fácil: se V=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix} então
V^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix}.
  • Aqui ad-bc=2\cdot1-3\cdot1=2-3=-1. Assim
V^{-1}=\frac{1}{-1}\begin{pmatrix}1 & -3\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1 & 3\\[4pt]1 & -2\end{pmatrix}.]

Passo 7

Expressar a condição inicial nas coordenadas da base de autovetores (cálculo de coeficientes).
  • Precisamos escrever X(0)=\begin{pmatrix}8\\[4pt]3\end{pmatrix} como combinação linear das colunas de V:
X(0)=V c,
onde c é o vetor de coeficientes. Logo c=V^{-1}X(0).
  • Calculando:
c=V^{-1}X(0)=\begin{pmatrix}-1 & 3\\[4pt]1 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}8\\[4pt]3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1\cdot8+3\cdot3\\[4pt]1\cdot8-2\cdot3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-8+9\\[4pt]8-6\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}.
  • Interpretação: X(0)=1\cdot v^{(1)}+2\cdot v^{(2)}.]

Passo 8

Construir a solução X(t) usando a diagonalização e escrever as componentes x(t) e y(t).
  • Pela propriedade da exponencial de matriz diagonalizável:
e^{At}=V e^{D t} V^{-1}, \qquad e^{D t}=\begin{pmatrix}e^{1\cdot t} & 0\\[4pt]0 & e^{-1\cdot t}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}e^{t} & 0\\[4pt]0 & e^{-t}\end{pmatrix}.
  • Aplicando X(t)=e^{At}X(0)=V e^{D t} V^{-1} X(0). Como já temos c=V^{-1}X(0), é prático escrever
X(t)=V e^{D t} c.
  • Substituindo valores: c=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}, então
e^{D t} c = \begin{pmatrix}e^{t} & 0\\[4pt]0 & e^{-t}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}e^{t}\cdot1\\[4pt]e^{-t}\cdot2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}e^{t}\\[4pt]2e^{-t}\end{pmatrix}.
  • Multiplicando por V:
X(t)=V\begin{pmatrix}e^{t}\\[4pt]2e^{-t}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}e^{t}\\[4pt]2e^{-t}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2e^{t}+6e^{-t}\\[4pt]e^{t}+2e^{-t}\end{pmatrix}.
  • Assim as componentes da solução são
x(t)=2e^{t}+6e^{-t}, \qquad y(t)=e^{t}+2e^{-t}.
  • (Verificação rápida: em t=0 obtém-se x(0)=2+6=8, y(0)=1+2=3, que conferem com as condições iniciais.)]

Resposta

x(t)=2e^{t}+6e^{-t}
y(t)=e^{t}+2e^{-t}

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