As seguintes equações diferenciais são lineares com coeficientes constantes, ou seja, podem ser resolvidas diretamente. Encontre duas soluções em series de potências com centro em x = 0 e compare com as soluções obtidas diretamente.
a) y'' + y = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial , que é uma equação linear de coeficientes constantes. Nosso objetivo aqui é encontrar duas soluções usando séries de potências centradas em e depois comparar com as soluções que a gente já conhece para essa equação. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de potência e como aplicá-las em equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências centrada em . Ou seja,
Aqui, são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de :

Passo 4

Substituindo e na equação diferencial , temos:

Passo 5

Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de cada devem ser iguais a zero. Então, igualando os coeficientes:

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes. Isso nos permite expressar em termos de . Precisamos de duas soluções independentes, então vamos considerar dois casos para os coeficientes iniciais e .

Passo 7

Primeira solução ( dado, ):
Assumindo e , usando a relação de recorrência:
Notamos que os coeficientes de ordem par estão alternando de sinal e seguem a fórmula:
Então, a primeira solução é:

Passo 8

Segunda solução ( , dado):
Assumindo e , aplicamos a relação de recorrência:
Os coeficientes de ordem ímpar também alternam de sinal e seguem:
Então, a segunda solução é:

Resposta

As duas soluções em séries de potências centradas em são e , que coincidem com as soluções obtidas diretamente.

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