As seguintes equações diferenciais são lineares com coeficientes constantes, ou seja, podem ser resolvidas diretamente. Encontre duas soluções em series de potências com centro em
e compare com as soluções obtidas diretamente.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial
, que é uma equação linear de coeficientes constantes. Nosso objetivo aqui é encontrar duas soluções usando séries de potências centradas em
e depois comparar com as soluções que a gente já conhece para essa equação. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de potência e como aplicá-las em equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser escrita como uma série de potências centrada em
. Ou seja,
Aqui,
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Passo 4
Substituindo
e
na equação diferencial
, temos:
Passo 5
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de cada
devem ser iguais a zero. Então, igualando os coeficientes:
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes. Isso nos permite expressar
em termos de
. Precisamos de duas soluções independentes, então vamos considerar dois casos para os coeficientes iniciais
e
.
Passo 7
Primeira solução (
dado,
):
Assumindo
e
, usando a relação de recorrência:
Notamos que os coeficientes de ordem par estão alternando de sinal e seguem a fórmula:
Então, a primeira solução é:
Passo 8
Segunda solução (
,
dado):
Assumindo
e
, aplicamos a relação de recorrência:
Os coeficientes de ordem ímpar também alternam de sinal e seguem:
Então, a segunda solução é:
Resposta
As duas soluções em séries de potências centradas em
são
e
, que coincidem com as soluções obtidas diretamente.