Nos seguintes exercícios, encontre o domínio, encontre a imagem, e descreva as curvas de nível da função:
f(x, y)=e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}
e pede três coisas:
  • Encontrar o domínio de f.
  • Encontrar a imagem (ou conjunto-valor) de f.
  • Descrever as curvas de nível (conjuntos \{(x,y)\mid f(x,y)=c\} para valores c possíveis).
Informações relevantes que temos prontas para usar:
  • A expressão no expoente é \,-(x^{2}+y^{2}), onde x^{2}+y^{2}\ge 0 para todos os (x,y).
  • A função exponencial e^{t} está definida para todo t\in\mathbb{R} e é sempre positiva.

Passo 2

Domínio — o que isso significa e como achar:
  • Definição rápida: o domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de pontos (x,y) nos quais a expressão da função faz sentido (está bem definida).
  • Aqui a expressão é e^{-(x^{2}+y^{2})}. O exponencial e^{t} está definido para qualquer t\in\mathbb{R}. Como -(x^{2}+y^{2}) é um número real para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2}, não há restrição.
  • Conclusão: o domínio é todo o plano. Em notação:
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}^{2}.

Passo 3

Conveniente usar coordenada radial — motivo e definição:
  • É útil notar que f depende só de x^{2}+y^{2}, ou seja, só da distância ao quadrado ao origem. Definimos
r^{2}=x^{2}+y^{2},\qquad r\ge 0.
  • Assim podemos escrever
f(x,y)=e^{-r^{2}}.
Isso mostra imediatamente que f é radial (simétrica em torno da origem) e que os valores de f dependem apenas de r.

Passo 4

Imagem (conjunto-valor) — raciocínio passo a passo:
  • Considere a função unidimensional g(u)=e^{-u} com u\ge 0. Sabemos que g é contínua, g(0)=1 e \lim_{u\to\infty}g(u)=0. Além disso g(u)>0 para todo u.
  • Como u=r^{2} pode assumir qualquer valor em [0,\infty), os valores possíveis de f são exatamente os de g sobre [0,\infty).
  • Portanto f atinge o valor 1 quando r=0 (ou seja, em (0,0)), e aproxima-se de 0 quando r\to\infty sem nunca chegar a 0.
  • Formalmente: para qualquer t com 0<t\le 1 existe r=\sqrt{-\ln t} tal que e^{-r^{2}}=t; mas não existe (x,y) com e^{-(x^{2}+y^{2})}=0.
  • Conclusão:
\text{Im}(f)=(0,1].

Passo 5

Derivação das curvas de nível (o passo técnico):
  • Curva de nível para um valor c é o conjunto de (x,y) que satisfazem f(x,y)=c.
  • Começamos resolvendo a equação
e^{-(x^{2}+y^{2})}=c.
  • Tomando logaritmo natural (lembrando que isso só é válido quando c>0), obtemos
-(x^{2}+y^{2})=\ln c,
ou seja
x^{2}+y^{2}=-\ln c.
  • Agora precisamos dos valores de c que tornam a direita não-negativa. Como -\ln c\ge 0 equivale a \ln c\le 0, isso significa c\le 1. Juntando com c>0 (exigido pelo logaritmo), vemos que os únicos c possíveis são 0<c\le 1, exatamente a imagem já encontrada.

Passo 6

Interpretação geométrica das curvas de nível:
  • Para cada c\in(0,1] temos
x^{2}+y^{2}=-\ln c.
  • Se c=1 então -\ln c=0 e a equação é x^{2}+y^{2}=0, ou seja, a única solução é o ponto (0,0) — nível máximo.
  • Se 0<c<1 então -\ln c>0 e a equação descreve um círculo centrado na origem com raio
\rho=\sqrt{-\ln c}\,.
  • Para valores de c fora de (0,1] (ou seja, c\le 0 ou c>1) não existem curvas de nível na reta \mathbb{R}^{2}.
  • Observações práticas: conforme c diminui (se aproxima de 0^{+}), o raio \rho cresce sem limite; assim os círculos se expandem ao ir para níveis mais baixos. Conforme c aumenta até 1, os círculos encolhem até o ponto central.

Passo 7

Exemplos rápidos para fixar:
  • Se c=e^{-4} então -\ln c=4 e a curva de nível é o círculo de raio \rho=2: x^{2}+y^{2}=4.
  • Se c=\tfrac{1}{2} então -\ln c=-\ln(\tfrac{1}{2})=\ln 2 e o círculo tem raio \rho=\sqrt{\ln 2}.

Passo 8

Resumo intuitivo e dica para prova:
  • Em prova, ao ver e^{-(x^{2}+y^{2})} pense imediatamente em r^{2}=x^{2}+y^{2} e reduza o problema a e^{-r^{2}}. Para curvas de nível, isole x^{2}+y^{2} tomando logaritmo. Isso dá círculos concêntricos — receita simples, rápida e segura.

Resposta

\text{Dom}(f)=\mathbb{R}^{2}
\text{Im}(f)=(0,1]
As curvas de nível para c\in(0,1] são os círculos centrados na origem dada por \;x^{2}+y^{2}=-\ln c\;.
Para c=1 a curva de nível é o ponto (0,0).
Não existem curvas de nível para c\le 0 ou c>1.