Nos seguintes exercícios, encontre o domínio, encontre a imagem, e descreva as curvas de nível da função:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- Encontrar o domínio de
. - Encontrar a imagem (ou conjunto-valor) de
. - Descrever as curvas de nível (conjuntos
para valores possíveis).
Informações relevantes que temos prontas para usar:
- A expressão no expoente é
, onde para todos os . - A função exponencial
está definida para todo e é sempre positiva.
Passo 2
Domínio — o que isso significa e como achar:
- Definição rápida: o domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de pontos
nos quais a expressão da função faz sentido (está bem definida). - Aqui a expressão é
. O exponencial está definido para qualquer . Como é um número real para todo , não há restrição. - Conclusão: o domínio é todo o plano. Em notação:
Passo 3
Conveniente usar coordenada radial — motivo e definição:
- É útil notar que
depende só de , ou seja, só da distância ao quadrado ao origem. Definimos
- Assim podemos escrever
Isso mostra imediatamente que
é radial (simétrica em torno da origem) e que os valores de
dependem apenas de
.
Passo 4
Imagem (conjunto-valor) — raciocínio passo a passo:
- Considere a função unidimensional
com . Sabemos que é contínua, e . Além disso para todo . - Como
pode assumir qualquer valor em , os valores possíveis de são exatamente os de sobre . - Portanto
atinge o valor quando (ou seja, em ), e aproxima-se de quando sem nunca chegar a . - Formalmente: para qualquer
com existe tal que ; mas não existe com . - Conclusão:
Passo 5
Derivação das curvas de nível (o passo técnico):
- Curva de nível para um valor
é o conjunto de que satisfazem . - Começamos resolvendo a equação
- Tomando logaritmo natural (lembrando que isso só é válido quando
), obtemos
ou seja
- Agora precisamos dos valores de
que tornam a direita não-negativa. Como equivale a , isso significa . Juntando com (exigido pelo logaritmo), vemos que os únicos possíveis são , exatamente a imagem já encontrada.
Passo 6
Interpretação geométrica das curvas de nível:
- Para cada
temos
- Se
então e a equação é , ou seja, a única solução é o ponto — nível máximo. - Se
então e a equação descreve um círculo centrado na origem com raio
- Para valores de
fora de (ou seja, ou ) não existem curvas de nível na reta . - Observações práticas: conforme
diminui (se aproxima de ), o raio cresce sem limite; assim os círculos se expandem ao ir para níveis mais baixos. Conforme aumenta até , os círculos encolhem até o ponto central.
Passo 7
Exemplos rápidos para fixar:
- Se
então e a curva de nível é o círculo de raio : . - Se
então e o círculo tem raio .
Passo 8
Resumo intuitivo e dica para prova:
- Em prova, ao ver
pense imediatamente em e reduza o problema a . Para curvas de nível, isole tomando logaritmo. Isso dá círculos concêntricos — receita simples, rápida e segura.
Resposta
As curvas de nível para
Para
Não existem curvas de nível para