Qual das seguintes funções não é uma solução para a equação da onda?
(a) 
 .
(b) 
 .
© 
 .
(d) 
 .
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para descobrir qual das funções listadas não resolve a equação da onda. Isso envolve entender um pouquinho sobre equações diferenciais parciais, especificamente a equação da onda. Vamos precisar calcular derivadas parciais das funções dadas para verificar se elas satisfazem essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a equação da onda. Em uma dimensão, ela é dada por:
Aqui, 
  é a função que descreve a onda, 
  é o tempo, 
  é a posição, e 
  é a velocidade da onda. Para simplificar, vamos assumir que 
 . Assim, nossa equação fica:
Vamos verificar cada função para ver se ela satisfaz essa equação.
Passo 3
Opção (a): 
Vamos encontrar as derivadas parciais:
Primeira derivada em 
 :
Segunda derivada em 
 :
Primeira derivada em 
 :
Segunda derivada em 
 :
Agora, vamos comparar:
Vemos que 
 , então a função satisfaz a equação da onda.
Passo 4
Opção (b): 
Vamos encontrar as derivadas parciais:
Primeira derivada em 
 :
Segunda derivada em 
 :
Primeira derivada em 
 :
Segunda derivada em 
 :
Comparando:
Aqui também temos 
 , então a função satisfaz a equação da onda.
Passo 5
Opção ©: 
Vamos encontrar as derivadas parciais:
Primeira derivada em 
 :
Segunda derivada em 
 :
Primeira derivada em 
 :
Segunda derivada em 
 :
Agora, vamos comparar:
Claramente, 
 , então a função não satisfaz a equação da onda.
Passo 6
Opção (d): 
Vamos simplificar essa função primeiro usando uma identidade trigonométrica:
Aplicando:
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais:
Primeira derivada em 
 :
Como  não depende de 
 , todas as derivadas em 
  serão zero:
Como
Primeira derivada em 
 :
Segunda derivada em 
 :
Comparando:
Não temos  para toda 
 , então a função não satisfaz a equação da onda. Mas como já encontramos na opção © uma que não satisfaz, essa também não é solução.
Resposta
A função que não é solução para a equação da onda é a opção ©: