Nos seguintes limites, indique o tipo de indeterminação e resolva-os utilizando a regra de L’Hôpital.
(1,0 \mathrm{pts}) \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln \left(x^{2}+1\right)}{\ln (x)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)}{\ln(x)}.
Informações dadas: a função numeradora é \ln\bigl(x^{2}+1\bigr) e a denominadora é \ln(x); o limite é quando x tende a +\infty. A pergunta é: qual é o valor desse limite?

Passo 2

Identificar o tipo de indeterminação. Para isso, verifico o comportamento das duas partes quando x\rightarrow +\infty.
\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)\rightarrow +\infty e \ln(x)\rightarrow +\infty.
Portanto a forma é \displaystyle \frac{+\infty}{+\infty}, que é uma indeterminação do tipo \displaystyle\frac{\infty}{\infty}. Isso permite usar a regra de L’Hôpital (desde que as hipóteses dela sejam satisfeitas).

Passo 3

Lembrete rápido (aula mini): a regra de L’Hôpital diz que se temos uma indeterminação do tipo \displaystyle\frac{\infty}{\infty} ou \displaystyle\frac{0}{0}, e se numerador e denominador são diferenciáveis numa vizinhança do ponto (exceto talvez no próprio ponto) e o limite do quociente das derivadas existir (ou for \pm\infty), então
\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}.
Aqui as hipóteses são atendidas para x suficientemente grande: \ln(x^2+1) e \ln(x) são diferenciáveis para x>0, e a derivada de \ln(x) não é zero para x>0. Podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 4

Calculo as derivadas necessárias passo a passo.
Derivada do numerador:
\frac{d}{dx}\bigl[\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)\bigr] = \frac{1}{x^{2}+1}\cdot \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+1\bigr) = \frac{1}{x^{2}+1}\cdot 2x = \frac{2x}{x^{2}+1}.
Derivada da denominadora:
\frac{d}{dx}\bigl[\ln(x)\bigr] = \frac{1}{x}.
Aplicando L’Hôpital, o limite original é igual ao limite do quociente das derivadas:
\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)}{\ln(x)} = \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\dfrac{2x}{x^{2}+1}}{\dfrac{1}{x}}.

Passo 5

Simplifico o quociente das derivadas cuidadosamente. Temos
\frac{\dfrac{2x}{x^{2}+1}}{\dfrac{1}{x}} = \frac{2x}{x^{2}+1}\cdot x = \frac{2x^{2}}{x^{2}+1}.
Agora calculo o limite quando x\rightarrow +\infty desse termo.

Passo 6

Para \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{2x^{2}}{x^{2}+1} posso dividir numerador e denominador por x^{2} (truque padrão para limites com potências):
\frac{2x^{2}}{x^{2}+1} = \frac{2}{1+\dfrac{1}{x^{2}}}.
Quando x\rightarrow +\infty, \dfrac{1}{x^{2}}\rightarrow 0. Então
\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{2}{1+\dfrac{1}{x^{2}}} = \frac{2}{1+0} = 2.

Passo 7

Conclusão e interpretação: o limite existe e vale 2. Intuitivamente, isso corresponde à ideia de que \ln(x^{2}+1) cresce como 2\ln(x) quando x é grande, então a razão tende a 2. Boa! Você conseguiu — é um resultado bem comum em provas.

Resposta

2