Nos seguintes limites, indique o tipo de indeterminação e resolva-os utilizando a regra de L’Hôpital.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
.
Informações dadas: a função numeradora é e a denominadora é
; o limite é quando
tende a
. A pergunta é: qual é o valor desse limite?
Informações dadas: a função numeradora é
Passo 2
Identificar o tipo de indeterminação. Para isso, verifico o comportamento das duas partes quando
.
e
.
Portanto a forma é , que é uma indeterminação do tipo
. Isso permite usar a regra de L’Hôpital (desde que as hipóteses dela sejam satisfeitas).
Portanto a forma é
Passo 3
Lembrete rápido (aula mini): a regra de L’Hôpital diz que se temos uma indeterminação do tipo
ou
, e se numerador e denominador são diferenciáveis numa vizinhança do ponto (exceto talvez no próprio ponto) e o limite do quociente das derivadas existir (ou for
), então
Aqui as hipóteses são atendidas para
suficientemente grande:
e
são diferenciáveis para
, e a derivada de
não é zero para
. Podemos aplicar L’Hôpital.
Passo 4
Calculo as derivadas necessárias passo a passo.
Derivada do numerador:
Derivada da denominadora:
Aplicando L’Hôpital, o limite original é igual ao limite do quociente das derivadas:
Passo 5
Simplifico o quociente das derivadas cuidadosamente. Temos
Agora calculo o limite quando
desse termo.
Passo 6
Para
posso dividir numerador e denominador por
(truque padrão para limites com potências):
Quando
,
. Então
Passo 7
Conclusão e interpretação: o limite existe e vale
. Intuitivamente, isso corresponde à ideia de que
cresce como
quando
é grande, então a razão tende a
. Boa! Você conseguiu — é um resultado bem comum em provas.