Nos seguintes limites, indique o tipo de indeterminação e resolva-os utilizando a regra de L’Hôpital.
(1,0 pts)
(1,0 pts)
Passo 1
O enunciado pede que você indique o tipo de indeterminação e calcule o limite
Informações dadas: o numerador é
e o denominador é
. O ponto de interesse é
. Nada mais foi fornecido.
Passo 2
Primeiro passo prático: fazemos a substituição direta
para ver o que acontece com numerador e denominador.
Portanto obtivemos a forma
. Isso é uma indeterminação do tipo
: tanto numerador quanto denominador tendem a zero quando
.
Passo 3
Agora a regra que o enunciado pediu: a regra de L’Hôpital. Vou explicar de forma clara o que ela diz e quando podemos usá-la. Suponha que
e
são funções diferenciáveis em torno de
(exceto, possivelmente, em
) e que ao calcular
obtemos uma indeterminação do tipo
ou
. Então, se o limite das derivadas existe (ou é
), podemos trocar o limite da razão pela razão das derivadas:
Aqui
e
são as derivadas de
e
. Em palavras simples: em casos
ou
podemos derivar cima e baixo e recalcular o limite — desde que as hipóteses da regra sejam atendidas.
Passo 4
Aplicando L’Hôpital ao nosso limite: identificamos
Calculamos as derivadas:
Pela regra de L’Hôpital temos
Passo 5
Agora avaliamos
. A função exponencial é contínua, então basta substituir
:
Comentário didático rápido: a identidade
quando
aparece sempre nas provas porque é exatamente a definição da derivada de
em
. Outra forma rápida de ver o mesmo resultado, se você lembrar de séries, é usar a expansão
; dividindo por
e tomando
também dá
.
Passo 6
Dica para a prova: ao ver
pense em L’Hôpital — mas antes verifique se as funções são diferenciáveis no entorno do ponto. Para funções exponenciais e polinomiais isso normalmente está ok. Respira fundo: esse é um limite clássico e muito comum, decorá-lo ajuda (e o resultado é
). Força aí — você consegue!