Nos seguintes limites, indique o tipo de indeterminação e resolva-os utilizando a regra de L’Hôpital.
(1,0 pts) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{x}

Passo 1

O enunciado pede que você indique o tipo de indeterminação e calcule o limite
\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1}{x}.
Informações dadas: o numerador é e^{x}-1 e o denominador é x. O ponto de interesse é x=0. Nada mais foi fornecido.

Passo 2

Primeiro passo prático: fazemos a substituição direta x=0 para ver o que acontece com numerador e denominador.
\text{numerador: } e^{0}-1=1-1=0,
\text{denominador: } 0.
Portanto obtivemos a forma \dfrac{0}{0}. Isso é uma indeterminação do tipo \dfrac{0}{0}: tanto numerador quanto denominador tendem a zero quando x\to 0.

Passo 3

Agora a regra que o enunciado pediu: a regra de L’Hôpital. Vou explicar de forma clara o que ela diz e quando podemos usá-la. Suponha que f e g são funções diferenciáveis em torno de a (exceto, possivelmente, em a) e que ao calcular \lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)} obtemos uma indeterminação do tipo \dfrac{0}{0} ou \dfrac{\infty}{\infty}. Então, se o limite das derivadas existe (ou é \pm\infty), podemos trocar o limite da razão pela razão das derivadas:
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Aqui f'(x) e g'(x) são as derivadas de f e g. Em palavras simples: em casos \tfrac{0}{0} ou \tfrac{\infty}{\infty} podemos derivar cima e baixo e recalcular o limite — desde que as hipóteses da regra sejam atendidas.

Passo 4

Aplicando L’Hôpital ao nosso limite: identificamos
f(x)=e^{x}-1,\qquad g(x)=x.
Calculamos as derivadas:
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{x}-1\big)=e^{x},
g'(x)=\frac{d}{dx}x=1.
Pela regra de L’Hôpital temos
\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}}{1}=\lim_{x\to 0}e^{x}.

Passo 5

Agora avaliamos \lim_{x\to 0}e^{x}. A função exponencial é contínua, então basta substituir x=0:
\lim_{x\to 0}e^{x}=e^{0}=1.
Comentário didático rápido: a identidade \dfrac{e^{x}-1}{x} quando x\to 0 aparece sempre nas provas porque é exatamente a definição da derivada de e^{x} em 0. Outra forma rápida de ver o mesmo resultado, se você lembrar de séries, é usar a expansão e^{x}=1+x+\dfrac{x^{2}}{2}+\cdots; dividindo por x e tomando x\to0 também dá 1.

Passo 6

Dica para a prova: ao ver \dfrac{0}{0} pense em L’Hôpital — mas antes verifique se as funções são diferenciáveis no entorno do ponto. Para funções exponenciais e polinomiais isso normalmente está ok. Respira fundo: esse é um limite clássico e muito comum, decorá-lo ajuda (e o resultado é \,1). Força aí — você consegue!

Resposta

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