As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, determine os valores de x e y (quando houver y ) para os quais o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
\left[\begin{array}{lll}x & 6 & 2 \\\\ 3 & 4 & y\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} x & 6 & 2\\\\ 3 & 4 & y \end{pmatrix}
de um sistema linear em três incógnitas e duas equações, e pede os valores de x e y tais que o sistema tenha ou nenhuma solução ou infinitas soluções, dependendo do vetor \boldsymbol b=(b_{1},b_{2}).
O conteúdo envolve noções de posto (rank) da matriz de coeficientes:
  • Se \mathrm{rank}(A)=2, o sistema sempre tem posto máximo e, por ser subdeterminado (3 incógnitas, 2 equações), sempre terá infinitas soluções (nunca 0).
  • Se \mathrm{rank}(A)=1, o sistema só é consistente quando \boldsymbol b satisfaz uma certa relação linear, dando infinitas soluções nesse caso e nenhuma solução caso contrário.

Passo 2

Para que o sistema tenha ou zero ou infinitas soluções (mas não sempre infinitas), precisamos que
\mathrm{rank}(A)=1<2.
Isto significa que as duas linhas de A são proporcionais, ou seja, existe \lambda\neq0 tal que
(x,6,2)=\lambda\,(3,4,y).

Passo 3

Da igualdade de componentes, obtemos três equações em \lambda\), \(x\) e \(y\): \[\begin{cases} x = 3\lambda,\\\\ 6 = 4\lambda,\\\\ 2 = \lambda\,y. \end{cases}
Da segunda equação vem
\lambda = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}.
Substituindo em x=3\lambda\] e em \(2=\lambda y resulta
x = 3\cdot\frac{3}{2} = \frac{9}{2}, \qquad y = \frac{2}{\lambda} = \frac{2}{3/2} = \frac{4}{3}.

Passo 4

Com esses valores, \mathrm{rank}(A)=1 e a condição de consistência do sistema é que \boldsymbol b satisfaça a mesma proporção entre as componentes das linhas, isto é,
(b_{1},b_{2}) \text{ deve satisfazer } b_{1} = \lambda\,b_{2} \quad\text{com}\quad \lambda=\tfrac{3}{2}.
Se b_{1}=\tfrac{3}{2}b_{2}, o sistema tem infinitas soluções; caso contrário, não tem solução.

Resposta

x = \tfrac{9}{2} e y = \tfrac{4}{3}.

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