Os seguintes sistemas lineares admitem uma única solucão; determine essa s olucão aplicando a Regra de Cramer:
\left\{\begin{array}{l}2 x+3 y+3 z=18 \\\\ 3 x+2 y+5 z=23 \\\\ 5 x+4 y+2 z=27\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear com três incógnitas:
\begin{cases} 2x + 3y + 3z = 18,\\\\ 3x + 2y + 5z = 23,\\\\ 5x + 4y + 2z = 27, \end{cases}
que admite solução única. Vamos usar a Regra de Cramer, que calcula cada variável a partir de determinantes.

Passo 2

Calculamos o determinante da matriz dos coeficientes, que chamamos de D:
D = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 3\\\\ 3 & 2 & 5\\\\ 5 & 4 & 2 \end{vmatrix}.
Expandindo pela primeira linha:
D = 2\,(2\cdot2 - 5\cdot4)\;-\;3\,(3\cdot2 - 5\cdot5)\;+\;3\,(3\cdot4 - 2\cdot5) = -32 + 57 + 6 = 31.

Passo 3

Substituímos a primeira coluna pelos termos constantes (18,23,27) para obter D_x:
D_x = \begin{vmatrix} 18 & 3 & 3\\\\ 23 & 2 & 5\\\\ 27 & 4 & 2 \end{vmatrix} = 18\,(2\cdot2 - 5\cdot4)\;-\;3\,(23\cdot2 - 5\cdot27)\;+\;3\,(23\cdot4 - 2\cdot27) = -288 + 267 + 114 = 93.

Passo 4

Substituímos a segunda coluna pelos termos constantes para obter D_y:
D_y = \begin{vmatrix} 2 & 18 & 3\\\\ 3 & 23 & 5\\\\ 5 & 27 & 2 \end{vmatrix} = 2\,(23\cdot2 - 5\cdot27)\;-\;18\,(3\cdot2 - 5\cdot5)\;+\;3\,(3\cdot27 - 23\cdot5) = -178 + 342 - 102 = 62.

Passo 5

Substituímos a terceira coluna pelos termos constantes para obter D_z:
D_z = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 18\\\\ 3 & 2 & 23\\\\ 5 & 4 & 27 \end{vmatrix} = 2\,(2\cdot27 - 23\cdot4)\;-\;3\,(3\cdot27 - 23\cdot5)\;+\;18\,(3\cdot4 - 2\cdot5) = -76 + 102 + 36 = 62.

Passo 6

Pela Regra de Cramer, cada incógnita é
x = \frac{D_x}{D},\quad y = \frac{D_y}{D},\quad z = \frac{D_z}{D}.
Substituindo os valores:
x = \frac{93}{31} = 3,\quad y = \frac{62}{31} = 2,\quad z = \frac{62}{31} = 2.

Resposta

(x,y,z) = (3,2,2)

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