Os seguintes sistemas lineares admitem uma única solucão; determine essa s olucão aplicando a Regra de Cramer:
\left\{\begin{array}{c}x-2 y-2 z=-1 \\\ x-y+z=-2 \\\\ 2 x+y+3 z=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} x - 2y - 2z = -1,\\\ x - y + z = -2,\\\\ 2x + y + 3z = 1, \end{cases}
e pede a única solução pelo método de Cramer. Para isso vamos montar a matriz dos coeficientes A, calcular \det(A) e depois os determinantes \det(A_x), \det(A_y) e \det(A_z) formados substituindo a coluna correspondente pelos termos independentes.

Passo 2

A matriz dos coeficientes é
A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2\\\\ 1 & -1 & 1\\\\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}.
Aplicando expansão pela primeira linha,
\det(A) = 1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\\ 1 & 3\end{pmatrix} -(-2)\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 2 & 3\end{pmatrix} +(-2)\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 2 & 1\end{pmatrix}.
Calculando cada menor:
\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\\ 1 & 3\end{pmatrix}=-1\cdot3-1\cdot1=-4,\quad \det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 2 & 3\end{pmatrix}=1\cdot3-1\cdot2=1,
\det\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 2 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-(-1)\cdot2=3.
Logo
\det(A)=1\cdot(-4)-(-2)\cdot1+(-2)\cdot3=-4+2-6=-8\neq0,
o que garante solução única.

Passo 3

Para x, substituímos a primeira coluna de A pelo vetor dos termos independentes (-1,-2,1), obtendo
A_x=\begin{pmatrix} -1 & -2 & -2\\\\ -2 & -1 & 1\\\\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira linha,
\det(A_x) =-1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\\ 1 & 3\end{pmatrix} -(-2)\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & 1\\\ 1 & 3\end{pmatrix} +(-2)\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & -1\\\ 1 & 1\end{pmatrix}.
Os menores são
\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\\ 1 & 3\end{pmatrix}=-4,\quad \det\begin{pmatrix}-2 & 1\\\ 1 & 3\end{pmatrix}=-7,\quad \det\begin{pmatrix}-2 & -1\\\ 1 & 1\end{pmatrix}=-1.
Assim
\det(A_x)=-1\cdot(-4)-(-2)\cdot(-7)+(-2)\cdot(-1)=4-14+2=-8
e
x=\frac{\det(A_x)}{\det(A)}=\frac{-8}{-8}=1.

Passo 4

Para y, substituímos a segunda coluna de A por (-1,-2,1):
A_y=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2\\\\ 1 & -2 & 1\\\\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira linha,
\det(A_y) =1\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & 1\\\ 1 & 3\end{pmatrix} -(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 2 & 3\end{pmatrix} +(-2)\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -2\\\ 2 & 1\end{pmatrix}.
Calculando menores:
\det\begin{pmatrix}-2 & 1\\\ 1 & 3\end{pmatrix}=-7,\quad \det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 2 & 3\end{pmatrix}=1,\quad \det\begin{pmatrix}1 & -2\\\ 2 & 1\end{pmatrix}=5.
Logo
\det(A_y)=1\cdot(-7)-(-1)\cdot1+(-2)\cdot5=-7+1-10=-16
e
y=\frac{\det(A_y)}{\det(A)}=\frac{-16}{-8}=2.

Passo 5

Para z, substituímos a terceira coluna de A por (-1,-2,1):
A_z=\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1\\\\ 1 & -1 & -2\\\\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira linha,
\det(A_z) =1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & -2\\\ 1 & 1\end{pmatrix} -(-2)\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -2\\\ 2 & 1\end{pmatrix} +(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 2 & 1\end{pmatrix}.
Os menores são
\det\begin{pmatrix}-1 & -2\\\ 1 & 1\end{pmatrix}=1,\quad \det\begin{pmatrix}1 & -2\\\ 2 & 1\end{pmatrix}=5,\quad \det\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 2 & 1\end{pmatrix}=3.
Portanto
\det(A_z)=1\cdot1-(-2)\cdot5+(-1)\cdot3=1+10-3=8
e
z=\frac{\det(A_z)}{\det(A)}=\frac{8}{-8}=-1.

Resposta

(x,y,z)=(1,2,-1).

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