Os seguintes sistemas lineares admitem uma única solucão; determine essa s olucão aplicando a Regra de Cramer:
\left\{\begin{array}{c}x+2 y+3 z=14 \\\\ 4 y+5 z=23 \\\\ 6 z=18\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear
\begin{cases} x + 2y + 3z = 14,\\\ \quad\;4y + 5z = 23,\\\ \quad\;\;6z = 18, \end{cases}
que tem exatamente uma solução. Vamos aplicar a Regra de Cramer, ou seja, calcular o determinante da matriz de coeficientes D e os determinantes D_x, D_y e D_z das matrizes obtidas ao substituir, respectivamente, as colunas de x, y e z pelos termos independentes.

Passo 2

O determinante da matriz de coeficientes é
D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 4 & 5 \\\\ 0 & 0 & 6 \end{vmatrix} = 1 \cdot (4\cdot6 - 5\cdot0) = 24.

Passo 3

Calculamos agora os determinantes numeradores:
Para D_x substituímos a primeira coluna por (14,23,18):
D_x = \begin{vmatrix} 14 & 2 & 3 \\\\ 23 & 4 & 5 \\\\ 18 & 0 & 6 \end{vmatrix} = 24.
Para D_y substituímos a segunda coluna por (14,23,18):
D_y = \begin{vmatrix} 1 & 14 & 3 \\\\ 0 & 23 & 5 \\\\ 0 & 18 & 6 \end{vmatrix} = 48.
Para D_z substituímos a terceira coluna por (14,23,18):
D_z = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 14 \\\\ 0 & 4 & 23 \\\\ 0 & 0 & 18 \end{vmatrix} = 72.

Passo 4

Aplicando a Regra de Cramer, cada incógnita é o quociente do seu determinante numerador pelo determinante D:
x = \frac{D_x}{D} = \frac{24}{24} = 1,\quad y = \frac{D_y}{D} = \frac{48}{24} = 2,\quad z = \frac{D_z}{D} = \frac{72}{24} = 3.

Resposta

(x,y,z) = (1,2,3).

Exercícios relacionados