A seguir todas as integrais são impróprias e convergem. Explique em cada caso por que a integral é imprópria e avalie cada integrante:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral imprópria:
. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais impróprias e a verificação da sua convergência. Para resolver, precisamos saber por que essa integral é imprópria e como avaliá-la.
Passo 2
Uma integral é considerada imprópria quando o intervalo de integração é infinito ou quando a função envolve alguma descontinuidade no intervalo. No nosso caso, o intervalo vai de
a
, ou seja, é infinito. Isso faz com que a integral seja imprópria.
Passo 3
Para resolver a integral imprópria, vamos reescrevê-la usando limites. Assim, transformamos a integral com limite infinito em um limite finito:
Isso facilita o cálculo, pois agora trabalhamos com limites finitos.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral definida de
a
:
Sabemos que a integral de
é
, então:
Passo 5
Simplificando os valores dos limites:
Substituindo na expressão:
Portanto, a integral converge para
.
Resposta
A integral
é imprópria devido ao limite infinito e converge para
.