Seja \alpha: I \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma curva regular. Prove que se \beta=\beta(s) e \lambda=\lambda(\bar{s}) são duas reparametrizações de \alpha por comprimento de arco, então s=\bar{s}+M, onde M é uma constante real.
Observação . De agora em diante, salvo menção em contrário, \alpha: I \rightarrow \mathbb{R}^{3} curva parametrizada pelo comprimento de arco com curvatura k(t) \neq 0 para todo t \in I.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede, de forma clara e sem resolver ainda.
São dadas duas parametrizações \beta=\beta(s) e \lambda=\lambda(\bar{s}) da mesma curva \alpha, ambas por comprimento de arco.
Isso significa, em particular, que ambas são de velocidade unitária: \bigl|\beta'(s)\bigr|=1 para todo s no domínio de \beta e \bigl|\lambda'(\bar{s})\bigr|=1 para todo \bar{s} no domínio de \lambda.
O pedido: provar que os parâmetros s e \bar{s} diferem apenas por uma constante, isto é, que existe M\in\mathbb{R} tal que
s=\bar{s}+M.
Passo 2
Entendendo direito o que é “reparametrização” e definindo a função de mudança de parâmetro.
Reparametrização significa que as curvas têm a mesma imagem e a mesma orientação (ou, no caso mais geral, existem funções lisas bijetoras entre os parâmetros). Portanto existe uma função diferenciável \varphi tal que, para todo s no domínio de \beta,
\beta(s)=\lambda\bigl(\varphi(s)\bigr).
Aqui \varphi é a mudança de parâmetro que leva o parâmetro s usado em \beta para o parâmetro \bar{s}=\varphi(s) usado em \lambda. Como \beta e \lambda são reparametrizações uma da outra, \varphi é bijetora e diferenciável com derivada não nula.
Passo 3
Derivar a relação e usar que ambas são parametrizadas por comprimento de arco.
Diferenciando a igualdade \beta(s)=\lambda(\varphi(s)) em s (regra da cadeia) obtemos
A função \varphi' é contínua (pois \varphi é C^1) e assume apenas os valores 1 ou -1 (já que seu valor absoluto é 1). Uma função contínua num intervalo conexo que só pode tomar os valores \pm1 é constante. Assim \varphi'(s) é identicamente 1 em todo o domínio ou identicamente -1 em todo o domínio.
Integramos \varphi'(s)=\pm1 para obter
\varphi(s)=\pm s + C,
onde C é uma constante real.
Passo 5
Traduzir a forma de \varphi na relação entre s e \bar{s}; interpretar os dois casos.
Lembrando que \bar{s}=\varphi(s), os dois casos são:
Se \varphi(s)=s+C, então \bar{s}=s+C e, resolvendo para s,
s=\bar{s}-C.Colocando M=-C obtemos \,s=\bar{s}+M.
Se \varphi(s)=-s+C, então \bar{s}=-s+C e, resolvendo,
s=-\bar{s}+C,que é da forma s=-\bar{s}+M com M=C.
Portanto as duas parametrizações por comprimento de arco diferem, no máximo, por uma transformação afim do parâmetro: \varphi(s)=\pm s+C. O caso \varphi'(s)=1 corresponde a preservação da orientação da parametrização e dá exatamente s=\bar{s}+M.
Passo 6
Resumo didático rápido (o porquê das etapas, em linguagem leve).
O passo-chave foi usar que parametrização por comprimento de arco significa velocidade unitária: isso força a derivada da mudança de parâmetro a ter módulo 1.
Como a derivada é contínua e só pode ser 1 ou -1, ela é constante; integrar dá que a mudança de parâmetro é uma função afim de coeficiente angular \pm1.
Assim, duas parametrizações por comprimento de arco só podem diferir por uma translação do parâmetro (se preservarem a orientação) ou por uma reflexão e translação (se invertem a orientação).
Pssst: você pode testar com exemplos simples: \alpha(s) e \alpha(s+2) são ambas unit-speed e satisfazem s=(\bar{s})-2, ou seja s=\bar{s}+M com M=-2.