Seja an=raiz[n]n-1. Use o binômio de Newton para provar que n=(1+an)^n >= n(n-1)2 an^2. Em seguida, justifique por que
0 <= an <= raiz2n-1
Por fim, conclua que lim n infty raiz[n]n=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa trabalhar com sequências e limites, usando o Binômio de Newton. Primeiro, temos a sequência . Nosso objetivo é provar que , mostrar que e, por fim, concluir que . Para isso, vamos precisar entender o Binômio de Newton e como aplicá-lo em potências.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever como . Isso porque implica que , e elevando ambos os lados à potência , temos .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Binômio de Newton na expressão (1 + an)^n = 1 + n an + n(n-1)2 an^2 + dots . O binômio expande dessa forma:
(1 + an)^n >= 1 + n an + n(n-1)2 an^2
Como todos os termos após o segundo são positivos, podemos dizer que:
n >= 1 + n an + n(n-1)2 an^2
Mas sabemos que , então:

Passo 4

Podemos simplificar essa inequação subtraindo 1 e n - 1 - n an >= n(n-1)2 an^2 de ambos os lados:
n >= n(n-1)2 an^2
Para facilitar, vamos ignorar os termos lineares para focar na parte quadrática:
an^2 <= 2nn(n-1) = 2n-1
Dividindo ambos os lados por , temos:

Passo 5

Tomando a raiz quadrada de ambos os lados, obtemos:
an <= raiz2n-1
Como 0 <= an <= raiz2n-1 e para todo , temos que . Portanto:

Passo 6

Agora, para encontrar o limite de limn infty an = 0 quando limn infty raiz[n]n = 1 tende ao infinito, observamos que está entre 0 e . Quando cresce, tende a 0, o que implica que também tende a 0.
Então:
Como , temos:

Resposta

Portanto, concluímos que .

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