Seja A=(arrayll1 & 2 5 & 6). Encontre todas as matrizes B2 times 2 tais que A B=B A. Resp.: B= (cca & b 5 b / 2 & a+5 b / 2), a, b in R

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma matriz 1 & 2 5 & 6 e precisamos encontrar todas as matrizes de tamanho que comutam com , ou seja, que satisfazem . Para resolver isso, vamos usar propriedades de multiplicação de matrizes e resolver um sistema de equações para encontrar os elementos de .

Passo 2

Primeiro, vamos representar a matriz B = a & b c & d de forma geral. Como é uma matriz , podemos escrevê-la assim:
Aqui, , , e são números reais que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto AB = 1 & 2 5 & 6 a & b c & d = 1 cdot a + 2 cdot c & 1 cdot b + 2 cdot d 5 cdot a + 6 cdot c & 5 cdot b + 6 cdot d = a + 2c & b + 2d 5a + 6c & 5b + 6d . Multiplicando por :

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto BA = a & b c & d 1 & 2 5 & 6 = a cdot 1 + b cdot 5 & a cdot 2 + b cdot 6 c cdot 1 + d cdot 5 & c cdot 2 + d cdot 6 = a + 5b & 2a + 6b c + 5d & 2c + 6d . Multiplicando por :

Passo 5

Para que a + 2c = a + 5b b + 2d = 2a + 6b 5a + 6c = c + 5d 5b + 6d = 2c + 6d , as duas matrizes resultantes devem ser iguais. Então, vamos igualar os elementos correspondentes:

Passo 6

Vamos simplificar cada equação:
  1. → Subtraindo de ambos os lados:
  2. → Subtraindo de ambos os lados: → Dividindo por 2:
  3. → Subtraindo de ambos os lados:
    Já sabemos que e . Substituindo:
    Isso confirma que a equação é válida, não trazendo novas informações.
  4. → Subtraindo de ambos os lados:
    Mas já temos , então essa equação também está satisfeita.

Passo 7

Agora que já encontramos as relações entre B = a & b 5b2 & a + 5b2 e , e entre e e , podemos expressar a matriz em termos de e :
Aqui, e podem ser quaisquer números reais.

Resposta

Todas as matrizes B = a & b dfrac5b2 & a + dfrac5b2 , a, b in R que comutam com são da forma:

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