Seja . Encontre todas as matrizes tais que . Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma matriz e precisamos encontrar todas as matrizes de tamanho que comutam com , ou seja, que satisfazem . Para resolver isso, vamos usar propriedades de multiplicação de matrizes e resolver um sistema de equações para encontrar os elementos de .
Passo 2
Primeiro, vamos representar a matriz de forma geral. Como é uma matriz , podemos escrevê-la assim:
Aqui, , , e são números reais que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto . Multiplicando por :
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto . Multiplicando por :
Passo 5
Para que , as duas matrizes resultantes devem ser iguais. Então, vamos igualar os elementos correspondentes:
Passo 6
Vamos simplificar cada equação:
→ Subtraindo de ambos os lados: →
→ Subtraindo de ambos os lados: → Dividindo por 2:
→ Subtraindo de ambos os lados:
Já sabemos que e . Substituindo:
Isso confirma que a equação é válida, não trazendo novas informações.
→ Subtraindo de ambos os lados:
Mas já temos , então essa equação também está satisfeita.
Passo 7
Agora que já encontramos as relações entre B = a & b 5b2 & a + 5b2 e , e entre e e , podemos expressar a matriz em termos de e :
Aqui, e podem ser quaisquer números reais.
Resposta
Todas as matrizes B = a & b dfrac5b2 & a + dfrac5b2 , a, b in R que comutam com são da forma: