Seja
a base de
constituída pelos vectores
Mediante uma matriz de mudança de base apropriada, calcule as componentes de um vector
nesta base.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente tem uma base
do
, onde
e
. O objetivo é encontrar as componentes de um vetor qualquer
nessa base usando uma matriz de mudança de base.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são lineares e que conseguem representar qualquer vetor do espaço através de combinações lineares. Aqui,
é uma base de
, ou seja, qualquer vetor
pode ser escrito como uma combinação linear de
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a matriz de mudança de base. Para isso, montamos uma matriz cujas colunas são os vetores da base
. Então, temos:
Passo 4
Essa matriz
nos ajuda a mudar de coordenadas na base padrão para as coordenadas na base
. Para encontrar as coordenadas
do vetor
na base
, precisamos resolver a equação:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações:
Da segunda equação, já vemos que
. Substituindo na primeira equação:
Resposta
As componentes do vetor
na base
são
.