Seja 
  uma base ortonormal de um espaço vetorial 
 .
Mostre que, se 
 , então 
 , para cada 
 ;
Mostre que, se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma base ortonormal 
  de um espaço vetorial 
 . Queremos mostrar que, se um vetor 
  é uma combinação linear desses vetores da base, ou seja, 
 , então cada coeficiente 
  é igual ao produto interno de 
  com 
 , ou seja, 
  para cada 
 .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma base ortonormal. Uma base ortonormal é um conjunto de vetores que são todos unitários (têm comprimento 1) e são mutuamente ortogonais (o produto interno entre quaisquer dois vetores diferentes é zero). Ou seja, 
  se 
  e 
 .
Passo 3
Agora, vamos usar essa propriedade para encontrar o coeficiente 
 . Sabemos que 
 . Para isolar 
 , vamos tirar o produto interno de ambos os lados da equação com 
 :
Passo 4
Usando a propriedade da linearidade do produto interno, podemos distribuir:
Passo 5
Lembrando que a base é ortonormal, sabemos que 
  para 
  e 
 . Portanto, todos os termos onde 
  desaparecem:
Resposta
Assim, mostramos que 
  para cada 
 .