Seja \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cr}2 & x^{2} \\\\ 2 x-1 & 0\end{array}\right]. Se \boldsymbol{A} é simétrica, calcule \operatorname{det}(\boldsymbol{A}).

Passo 1

O enunciado dá a matriz
\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}2 & x^{2}\\[4pt] 2x-1 & 0\end{pmatrix}
e afirma que \boldsymbol{A} é simétrica. A tarefa é calcular \operatorname{det}(\boldsymbol{A}). Vou listar claramente o que é pedido e o que temos:
  • Pedido: calcular \operatorname{det}(\boldsymbol{A}) sob a condição de que \boldsymbol{A} é simétrica.
  • Dados: os elementos da matriz são a_{11}=2, a_{12}=x^{2}, a_{21}=2x-1, a_{22}=0.]

Passo 2

O que significa ser uma matriz simétrica? Uma matriz quadrada \boldsymbol{M}=[m_{ij}] é simétrica se ela é igual à sua transposta, isto é, se
\boldsymbol{M}=\boldsymbol{M}^{T}.
Na prática, para uma matriz 2\times2 isso exige que o elemento acima da diagonal principal seja igual ao elemento abaixo da diagonal principal:
m_{12}=m_{21}.
Aqui, aplicando isso a \boldsymbol{A}, devemos ter
x^{2}=2x-1.

Passo 3

Agora resolvemos a equação que veio da condição de simetria:
x^{2}=2x-1.
Passo a passo, trago todos os termos para um lado:
x^{2}-2x+1=0.
Repare que o lado esquerdo é um quadrado perfeito:
x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}.
Então a equação fica
(x-1)^{2}=0.

Passo 4

Da igualdade (x-1)^{2}=0 concluímos que a única raiz é
x=1.
Isso significa que, sob a condição de simetria, o valor de x deve ser 1. (É uma raiz dupla, mas só interessa que x=1.)

Passo 5

Agora vamos calcular o determinante. Lembre-se da fórmula do determinante para uma matriz 2\times2:
Se
\boldsymbol{M}=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
então
\operatorname{det}(\boldsymbol{M})=ad-bc.
Aqui a, b, c e d são os elementos da matriz colocados nos seus lugares respectivos.]

Passo 6

Aplicando a fórmula ao caso de \boldsymbol{A} com os elementos dados, obtemos primeiro a expressão em função de x:
\operatorname{det}(\boldsymbol{A})=2\cdot 0 - x^{2}(2x-1) = -\,x^{2}(2x-1).
Como pela simetria temos x=1, substituímos x=1 na expressão (aqui deixo a expressão substituída, sem simplificar totalmente):
\operatorname{det}(\boldsymbol{A}) = -\,1^{2}\bigl(2\cdot 1 - 1\bigr).

Resposta

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