Seja
. Se
é simétrica, calcule
.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e afirma que
é simétrica. A tarefa é calcular
. Vou listar claramente o que é pedido e o que temos:
- Pedido: calcular
sob a condição de que é simétrica. - Dados: os elementos da matriz são
, , , .]
Passo 2
O que significa ser uma matriz simétrica? Uma matriz quadrada
é simétrica se ela é igual à sua transposta, isto é, se
Na prática, para uma matriz
isso exige que o elemento acima da diagonal principal seja igual ao elemento abaixo da diagonal principal:
Aqui, aplicando isso a
, devemos ter
Passo 3
Agora resolvemos a equação que veio da condição de simetria:
Passo a passo, trago todos os termos para um lado:
Repare que o lado esquerdo é um quadrado perfeito:
Então a equação fica
Passo 4
Da igualdade
concluímos que a única raiz é
Isso significa que, sob a condição de simetria, o valor de
deve ser
. (É uma raiz dupla, mas só interessa que
.)
Passo 5
Agora vamos calcular o determinante. Lembre-se da fórmula do determinante para uma matriz
:
Se
Se
então
Aqui
,
,
e
são os elementos da matriz colocados nos seus lugares respectivos.]
Passo 6
Aplicando a fórmula ao caso de
com os elementos dados, obtemos primeiro a expressão em função de
:
Como pela simetria temos
, substituímos
na expressão (aqui deixo a expressão substituída, sem simplificar totalmente):