1. Seja C a curva fechada x^{2}+y^{2}=1 orientada no sentido anti-horário. Mostre que
\oint_{C} x^{2} d y=0 .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_{C} x^{2}\,dy
ao longo da circunferência C\colon x^{2}+y^{2}=1 orientada no sentido anti-horário. Isso é uma integral de uma forma diferencial P\,dx+Q\,dy. Vamos usar o Teorema de Green, que transforma essa integral de linha numa integral dupla sobre o disco interior D.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=0, \quad Q(x,y)=x^{2}.
O Teorema de Green diz que
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.
Assim,
\oint_{C}x^{2}\,dy =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial (x^{2})}{\partial x}-\frac{\partial (0)}{\partial y}\Bigr)\,dA =\iint_{D}2x\,dA.

Passo 3

A região D é o disco \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le1\}, simétrico em torno do eixo y. A função x é ímpar em x, logo
\iint_{D}x\,dA=0,
e portanto
\iint_{D}2x\,dA=2\iint_{D}x\,dA=0.

Resposta

0

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