Seja C a curva no plano x z definida pelas equações z = ln(x), y = 0, para 1 <= x <= e. Seja X a superfície de revolução obtida ao girarmos a curva C em torno do eixo dos z.
Escreva uma parametrização para X e calcule o elemento de área orientado d S.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma curva no plano definida por e , com variando de 1 até . Queremos girar essa curva em torno do eixo para formar uma superfície . Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar uma superfície de revolução e como calcular o elemento de área orientado .

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a superfície de revolução . Quando giramos uma curva em torno do eixo , usamos um ângulo para representar a rotação. A curva original está no plano , então podemos expressar as coordenadas e em termos de e .

Passo 3

A curva é dada por . Vamos usar como uma das nossas variáveis de parâmetro, então varia de 1 a . O ângulo varia de a para completar a rotação completa.

Passo 4

A parametrização da superfície em coordenadas cilíndricas fica assim:
Aqui, varia de 1 a e varia de 0 a .

Passo 5

Agora, vamos calcular o elemento de área orientado . Para isso, precisamos encontrar os vetores tangentes e derivando a parametrização em relação a e , respectivamente.

Passo 6

Calculando as derivadas parciais:

Passo 7

O elemento de área orientado é dado pelo produto vetorial desses vetores tangentes:
Vamos calcular esse produto vetorial.

Passo 8

Calculando o produto vetorial:
Como , simplificamos:

Passo 9

Portanto, o elemento de área orientado é:

Resposta

A parametrização para a superfície é:
E o elemento de área orientado é:

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