Seja 
  a calota esférica dada pela equação 
 , onde 
 . Sobre 
  fixe a orientação 
 , tal que 
 . Calcule 
 , onde 
 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral sobre uma calota esférica 
  definida pela equação 
 , onde 
 . A orientação da superfície é dada pelo vetor 
  tal que em 
  ele aponta na direção de 
 . A função vetorial envolvida é 
 . Nosso objetivo é calcular a integral de superfície 
 . Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de uma rotacional sobre uma superfície com a integral de linha ao longo da borda dessa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por 
  ou 
 , mede a tendência de rotação do campo vetorial em torno de um ponto. Vamos calcular 
  para a função dada:
Onde 
 .
Passo 3
Vamos calcular cada componente do rotacional:
- 
Primeira componente:
 - 
Segunda componente:
 - 
Terceira componente:
 
Portanto, temos:
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Teorema de Stokes, que diz que:
Onde 
  é a borda da superfície 
 . No nosso caso, a calota esférica 
  tem como borda o círculo onde 
  e 
 . Então, ao invés de calcular a integral de superfície, podemos calcular a integral de linha ao longo dessa borda.
Passo 5
Vamos parametrizar a curva 
 . Para 
  e 
 , podemos usar coordenadas polares:
O vetor posição é então 
 . O diferencial de posição é:
Passo 6
Vamos avaliar a função vetorial 
  ao longo da curva parametrizada:
Substituindo 
 , 
 , 
 :
Passo 7
Agora, calculamos o produto escalar 
 :
Simplificando:
Então:
Passo 8
Vamos integrar isso de 
  a 
 :
Vamos dividir a integral em duas partes:
Passo 9
Calculando a segunda integral primeiro:
Agora, para a primeira integral, usamos a identidade trigonométrica:
Então:
Resposta
Portanto, a integral 
  é igual a 
 .