Q6: Seja
o conjunto dos vetores de
com as 2 primeiras entradas idênticas. A dimensão de
é:
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(E) 6
(F) 7
(22) 5
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(E) 6
(F) 7
(22) 5
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
formado por todos os vetores cujas duas primeiras coordenadas são iguais. Ou seja, um vetor qualquer
tem a forma
sujeito a
.
A pergunta é: qual é a dimensão de ? (As alternativas numéricas dadas incluem
, etc.)
A pergunta é: qual é a dimensão de
Passo 2
O que significa “dimensão” aqui? A dimensão de um subespaço vetorial é o número de vetores de uma base do subespaço. Uma base é um conjunto de vetores que gera (faz o span de) o subespaço e é linearmente independente. Logo, para encontrar
precisamos achar uma base de
e contar quantos vetores essa base tem.
Passo 3
Vamos escrever um vetor genérico de
de forma parametrizada, usando variáveis livres. Como temos a condição
, podemos chamar essa coordenada comum de
. As outras coordenadas podem ser chamadas de
. Assim qualquer vetor
pode ser escrito como
com
. Isso já mostra que há cinco graus de liberdade (cinco parâmetros independentes):
.
Passo 4
Vamos expressar
como combinação linear de vetores canônicos (isso constrói um candidato a base):
Denotemos os cinco vetores
Qualquer
é combinação linear desses
, então eles geram
.
Passo 5
Agora verificamos que os
são linearmente independentes. Seja uma combinação linear com coeficientes
que dá o vetor zero:
Olhando coordenada a coordenada, na terceira coordenada ficamos com
, na quarta
, na quinta
, na sexta
. Nas primeiras duas coordenadas obtemos
(ambas dão a mesma equação). Assim todos os
são zero, logo os vetores são linearmente independentes. Portanto
é uma base de
.
Passo 6
Como acabamos de encontrar uma base com exatamente cinco vetores, conclui-se que
Passo 7
Observação alternativa (mais curta, só para ver outra visão): a condição
é equivalente à equação linear
. Assim
é o núcleo do funcional linear
dado por
. Esse
tem posto
, então pelo teorema do posto-nulidade temos
, o que confirma o resultado anterior.