Q6: Seja C o conjunto dos vetores de \mathbb{R}^{6} com as 2 primeiras entradas idênticas. A dimensão de C é:
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(E) 6
(F) 7
(22) 5

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto C\subset\mathbb{R}^{6} formado por todos os vetores cujas duas primeiras coordenadas são iguais. Ou seja, um vetor qualquer v\in C tem a forma
v=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6})
sujeito a x_{1}=x_{2}.
A pergunta é: qual é a dimensão de C? (As alternativas numéricas dadas incluem 2,3,4,5,6,7, etc.)

Passo 2

O que significa “dimensão” aqui? A dimensão de um subespaço vetorial é o número de vetores de uma base do subespaço. Uma base é um conjunto de vetores que gera (faz o span de) o subespaço e é linearmente independente. Logo, para encontrar \dim C precisamos achar uma base de C e contar quantos vetores essa base tem.

Passo 3

Vamos escrever um vetor genérico de C de forma parametrizada, usando variáveis livres. Como temos a condição x_{1}=x_{2}, podemos chamar essa coordenada comum de a. As outras coordenadas podem ser chamadas de b,c,d,e. Assim qualquer vetor v\in C pode ser escrito como
v=(a,a,b,c,d,e),
com a,b,c,d,e\in\mathbb{R}. Isso já mostra que há cinco graus de liberdade (cinco parâmetros independentes): a,b,c,d,e.

Passo 4

Vamos expressar v como combinação linear de vetores canônicos (isso constrói um candidato a base):
v = a\,(1,1,0,0,0,0) + b\,(0,0,1,0,0,0) + c\,(0,0,0,1,0,0) + d\,(0,0,0,0,1,0) + e\,(0,0,0,0,0,1).
Denotemos os cinco vetores
u_{1}=(1,1,0,0,0,0),\quad u_{2}=(0,0,1,0,0,0),\quad u_{3}=(0,0,0,1,0,0),
u_{4}=(0,0,0,0,1,0),\quad u_{5}=(0,0,0,0,0,1).
Qualquer v\in C é combinação linear desses u_{i}, então eles geram C.

Passo 5

Agora verificamos que os u_{1},\dots,u_{5} são linearmente independentes. Seja uma combinação linear com coeficientes \alpha_{1},\dots,\alpha_{5} que dá o vetor zero:
\alpha_{1}u_{1}+\alpha_{2}u_{2}+\alpha_{3}u_{3}+\alpha_{4}u_{4}+\alpha_{5}u_{5}= (0,0,0,0,0,0).
Olhando coordenada a coordenada, na terceira coordenada ficamos com \alpha_{2}=0, na quarta \alpha_{3}=0, na quinta \alpha_{4}=0, na sexta \alpha_{5}=0. Nas primeiras duas coordenadas obtemos \alpha_{1}=\\\ 0 (ambas dão a mesma equação). Assim todos os \alpha_{i} são zero, logo os vetores são linearmente independentes. Portanto \{u_{1},\dots,u_{5}\} é uma base de C.

Passo 6

Como acabamos de encontrar uma base com exatamente cinco vetores, conclui-se que
\dim C = 5.

Passo 7

Observação alternativa (mais curta, só para ver outra visão): a condição x_{1}=x_{2} é equivalente à equação linear x_{1}-x_{2}=0. Assim C é o núcleo do funcional linear L:\mathbb{R}^{6}\to\mathbb{R} dado por L(x)=x_{1}-x_{2}. Esse L tem posto 1, então pelo teorema do posto-nulidade temos \dim\ker L = \dim\mathbb{R}^{6}-1 = 6-1 = 5, o que confirma o resultado anterior.

Resposta

5