Seja D: P10 longrightarrow P10 um operador linear definido por D p(x)=6 p(x)+p^prime(x)-3 p^prime prime(x). Mostre que N(D)=0 e conclua que, forall b(x) in P10, existe p(x) in P10 tal que D p(x)=b(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um operador linear definido por . Nosso objetivo é mostrar que o núcleo de só contém o polinômio zero, ou seja, . E além disso, concluir que para qualquer polinômio em , existe um polinômio tal que .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o núcleo de um operador linear. O núcleo 6 p(x) + p^prime(x) - 3 p^prime prime(x) = 0 é o conjunto de todos os polinômios em que satisfazem . Nosso objetivo é provar que o único polinômio que satisfaz essa equação é o polinômio zero.
Então, vamos assumir que existe um polinômio tal que . Ou seja:
Isso é uma equação diferencial para . Vamos resolver essa equação para encontrar .

Passo 3

Vamos reorganizar a equação:
3 p^prime prime(x) - p^prime(x) - 6 p(x) = 0
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. A gente pode resolver encontrando as raízes da equação característica associada. A equação característica é:
3 r^2 - r - 6 = 0
Resolvendo essa equação quadrática:
r = 1 pm raiz1 + 726 = 1 pm raiz736
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral do polinômio p(x) = C1 e^1 + raiz736 x + C2 e^1 - raiz736 x é:
No entanto, estamos trabalhando no espaço dos polinômios , que só contém funções polinomiais. As exponenciais não são polinômios, a menos que . Portanto, a única solução polinomial possível é .

Passo 4

Como , isso significa que o operador é injetor. Em espaços finitamente dimensionais, como , um operador linear injetor também é sobrejetor. Ou seja, para qualquer polinômio em , existe um polinômio em tal que .
Isso completa a prova que queríamos.

Resposta

Portanto, e para todo , existe um polinômio tal que .

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