Seja D a região no espaço x y z definida pelas desigualdades
1 \leq x \leq 2, \quad 0 \leq x y \leq 2, \quad 0 \leq z \leq 1 .
Calcule
\iiint_{D}\left(x^{2} y+3 x y z\right) d x d y d z
aplicando a transformação
u=x, \quad v=x y, \quad w=3 z
Passo 1
O enunciado pede para calcular o integral triplo da função \,x^{2}y+3xyz sobre a região
D=\{(x,y,z)\mid 1\le x\le2,\;0\le x y\le2,\;0\le z\le1\}
usando a transformação
u=x,\quad v=xy,\quad w=3z.
O conteúdo aqui é mudança de variáveis em integrais múltiplas, requerendo a determinação da região em (u,v,w), a expressão da função e o cálculo do jacobiano.
Passo 2
Expressamos a região D em termos de (u,v,w). Como
u=x\in[1,2],\quad v=xy\in[0,2],\quad w=3z,
e z\in[0,1] implica w\in[0,3], a nova região D' em (u,v,w) é
1\le u\le2,\quad 0\le v\le2,\quad 0\le w\le3.
Passo 3
Invertemos a transformação para obter (x,y,z) em função de (u,v,w):