Seja dado um sistema com 2 bobinas, 1 e 2 ; colocadas uma ao lado da outra. A bobina 1 contém N_{1} espiras e a bobina 2 contém N_{2} espiras.
Considere primeiro que na bobina 1 temos uma corrente variável i_{1} e não há corrente na bobina 2 . A corrente i_{1} gera um campo \vec{B}_{1} que flui através da bobina 2 , denote por \Phi_{21} o fluxo magnético através de uma espira da bobina 2 devido ao campo \vec{B}_{1}. Mostre que a variação da corrente i_{1} gera uma f.e.m na bobina 2 dada por:
\mathcal{E}_{2}=-M_{21} \frac{d}{d t} i_{1}
onde M_{21} é uma constante de proporcionalidade entre o fluxo magnético total na bobina 2 e a corrente na bobina 1. Essas constantes são chamadas de constantes de indução mútua e elas satisfazem:
M_{12}=M_{21}=M
Passo 1
O enunciado descreve duas bobinas colocadas lado a lado: a bobina 1 tem N_{1} espiras e, sobre ela, passa uma corrente variável i_{1}(t); a bobina 2 tem N_{2} espiras e inicialmente não há corrente nela. A corrente em 1 gera um campo \boldsymbol{B}_{1} que atravessa cada espira da bobina 2, produzindo um fluxo magnético por espira que chamamos de \Phi_{21}.
O objetivo é usar a lei de Faraday–Lenz para mostrar que a fem induzida na bobina 2 é
onde M_{21} é a constante de indução mútua definida pela relação linear entre o fluxo total em 2 e a corrente em 1. Em seguida, devemos mostrar que M_{12}=M_{21}. Para isso vamos precisar de:
– Lei de Faraday–Lenz \mathcal{E}=-d\Phi/dt.
– Definição de fluxo total em uma bobina de N espiras.
– Argumento de reciprocidade (energia magnética ou fórmula de Neumann).
Passo 2
O fluxo magnético total que liga a bobina 2 é o fluxo por espira multiplicado pelo número de espiras, ou seja,
\Phi_{\text{total},2} \;=\; N_{2}\,\Phi_{21}\,.
Como em regime linear \Phi_{21} é proporcional à corrente i_{1}, definimos
Para ver que M_{12}=M_{21} usamos o argumento de reciprocidade da energia magnética. Se colocássemos correntes i_{1} em 1 e i_{2} em 2, a energia magnética armazenada pode ser escrita como
W = \tfrac12\,L_{1}\,i_{1}^{2} \;+\;\tfrac12\,L_{2}\,i_{2}^{2} \;+\;M\,i_{1}\,i_{2}\,,
onde M é a mesma constante que aparece nos termos mistos. Por definição, o fluxo total na bobina 2 devido a i_{1} é \Phi_{\text{total},2}=\partial W/\partial i_{2}\big|_{i_{2}=0}=M\,i_{1}, logo M_{21}=M. Similarmente, \Phi_{\text{total},1}=\partial W/\partial i_{1}\big|_{i_{1}=0}=M\,i_{2}, o que mostra M_{12}=M. Conclui-se que
M_{12}=M_{21}\equiv M.
Resposta
\displaystyle \mathcal{E}_{2} = -\,M_{21}\,\frac{d i_{1}}{dt} e M_{12}=M_{21}=M.