Seja a equação diferencial dy/dx = 3x^2y. Analise as sentenças a seguir, assinalando V para as afirmativas verdadeiras e F para as alternativas falsas: (Considere c=1).
- dy/dx = 3x^2y é uma equação linear.
- dy/dx = 3x^2y é uma equação não linear.
- Então Y = ex^3 é uma solução para a equação.
Agora, marque a sequência correta:
A) V, F, V
B) F, V, V
C) F, V, F
D) V, F, F
A) V, F, V
B) F, V, V
C) F, V, F
D) V, F, F
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial $ \frac{dy}{dx} = 3x^2 y $. O que precisamos fazer é analisar três afirmações sobre essa equação e dizer se são verdadeiras (V) ou falsas (F). Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial linear e verificar se $ Y = e{x3} $ é uma solução dessa equação.
Passo 2
Sentença 1: “$ \frac{dy}{dx} = 3x^2 y $ é uma equação linear.”
O que é uma equação diferencial linear?
Uma equação diferencial é dita linear se pode ser escrita na forma:
Uma equação diferencial é dita linear se pode ser escrita na forma:
onde $ P(x) $ e $ Q(x) $ são funções de $ x $.
Agora, vamos reescrever a nossa equação:
Subtraindo $ 3x^2 y $ de ambos os lados:
Isso se encaixa na forma padrão da equação linear, onde $ P(x) = -3x^2 $ e $ Q(x) = 0 $.
Conclusão: A sentença é Verdadeira (V).
Passo 3
Sentença 2: “$ \frac{dy}{dx} = 3x^2 y $ é uma equação não linear.”
Como acabamos de ver no passo anterior, a equação se encaixa na forma de uma equação linear. Portanto, afirmar que ela é não linear está incorreto.
Conclusão: A sentença é Falsa (F).
Passo 4
Sentença 3: “Então $ Y = e{x3} $ é uma solução para a equação.”
Para verificar se $ Y = e{x3} $ é uma solução, vamos substituir na equação original.
Primeiro, calculamos a derivada de $ Y $:
Agora, substituímos na equação:
Os dois lados da equação são iguais, o que confirma que $ Y = e{x3} $ é de fato uma solução.
Conclusão: A sentença é Verdadeira (V).
Resposta
A sequência correta é A) V, F, V.