Seja uma esfera com diâmetro de 20 mm e uma temperatura superficial de 60^{\circ} \mathrm{C}, que está imersa em um fluido a 27^{\circ} \mathrm{C} e a uma velocidade de 2,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Calcule a taxa de transferência de calor quando o fluido for:
amônia.

Passo 1

O enunciado pede a taxa de transferência de calor por convecção de uma esfera imersa em um fluido (amônia) com os seguintes dados fornecidos:
  • diâmetro da esfera: D=20\\ \mathrm{mm}=0,02\\ \mathrm{m};
  • temperatura superficial da esfera: T_{s}=60^\circ\mathrm{C};
  • temperatura do fluido: T_{\infty}=27^\circ\mathrm{C};
  • velocidade do fluido em relação à esfera: U_{\infty}=2,5\\ \mathrm{m/s}.
O que se pede é a vazão de calor convectiva \dot{Q} (em watts) quando o fluido é amônia.

Passo 2

Estratégia geral (o que vamos usar):
  • A lei de resfriamento de Newton para convecção externa em um corpo é
\dot{Q}=h\,A\,(T_{s}-T_{\infty}),
onde h é o coeficiente de transferência de calor por convecção (W/m ^2K) e A é a área superficial da esfera (m ^2).
  • Para obter h usaremos uma correlação empírica para esfera no escoamento externo: correlação de Whitaker
\mathrm{Nu}_{D}=2+\Big(0,4\,\mathrm{Re}_{D}^{1/2}+0,06\,\mathrm{Re}_{D}^{2/3}\Big)\,\mathrm{Pr}^{0,4}\left(\frac{\mu_{\infty}}{\mu_{s}}\right)^{0,25},
onde \mathrm{Nu}_{D}=hD/k, \mathrm{Re}_{D}=\dfrac{\rho U_{\infty} D}{\mu_{\infty}} e \mathrm{Pr}=\dfrac{\mu_{\infty} c_{p}}{k}. A razão de viscosidades \mu_{\infty}/\mu_{s} corrige variação de propriedade com temperatura; como temperaturas são relativamente próximas avaliaremos propriedades no “filme” ( T_{f}=(T_{s}+T_{\infty})/2) e tomaremos a razão próxima de 1 (explico e justifico adiante).
  • Calcularemos as propriedades termofísicas da amônia no T_{f}, computaremos \mathrm{Re}_{D} e \mathrm{Pr}, depois \mathrm{Nu}_{D}, então h, e finalmente \dot{Q}.

Passo 3

Escolha das propriedades da amônia e justificativa:
  • Usamos temperatura de filme
T_{f}=\frac{T_{s}+T_{\infty}}{2}=\frac{60+27}{2}=43,5^\circ\mathrm{C}.
  • Como não foi fornecida tabela, adotamos valores típicos de propriedades da amônia gasosa próximo de T_{f} e à pressão atmosférica (esses valores são aproximações razoáveis para estimativa em prova; o raciocínio e fórmulas valem e, em prova, use os valores da tabela dada):
    • densidade: \rho=0,655\\ \mathrm{kg/m^{3}} (cálculo pela equação dos gases ideais em T_{f} ou tabela);
    • viscosidade dinâmica: \mu_{\infty}=1,15\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s};
    • condutividade térmica: k=0,025\\ \mathrm{W/(m\cdot K)};
    • calor específico a pressão constante: c_{p}=2{,}10\times10^{3}\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Comentário sobre aproximação: as propriedades foram avaliadas no T_{f} (média) para capturar o comportamento médio do escoamento; a razão \mu_{\infty}/\mu_{s} será aproximada por 1 já que T_{s} e T_{\infty} não diferem muito (diferença 33\\ \mathrm{K}). Essa aproximação costuma introduzir erro pequeno em problemas de prova.
Todos os números acima estão em unidades SI.

Passo 4

Cálculo de \mathrm{Re}_{D} e \mathrm{Pr}.
Fórmulas:
\mathrm{Re}_{D}=\frac{\rho\,U_{\infty}\,D}{\mu_{\infty}}, \qquad \mathrm{Pr}=\frac{\mu_{\infty}\,c_{p}}{k}.
Substituindo numericamente:
\mathrm{Re}_{D}=\frac{0,655\cdot 2{,}5\cdot 0{,}02}{1{,}15\times10^{-5}}.
Calculemos passo a passo:
0{,}655\cdot 2{,}5\cdot 0{,}02=0{,}03275.
\mathrm{Re}_{D}=\frac{0{,}03275}{1{,}15\times10^{-5}} \approx 2{,}84\times10^{3}.
Agora \mathrm{Pr}:
\mathrm{Pr}=\frac{1{,}15\times10^{-5}\cdot 2{,}10\times10^{3}}{0{,}025}.
1{,}15\times10^{-5}\cdot 2{,}10\times10^{3}=0{,}02415.
\mathrm{Pr}=\frac{0{,}02415}{0{,}025}\approx 0{,}966.
Portanto \mathrm{Re}_{D}\approx 2{,}84\times10^{3} (escoamento em regime subcrítico/transição para esfera) e \mathrm{Pr}\approx0{,}966 (da ordem de 1).

Passo 5

Cálculo da Nusselt pela correlação de Whitaker.
Primeiro avaliaremos os termos intermediários:
\mathrm{Re}_{D}^{1/2}\approx (2{,}84\times10^{3})^{1/2}\approx 53{,}34,
\mathrm{Re}_{D}^{2/3}\approx (2{,}84\times10^{3})^{2/3}\approx 200{,}8.
Usando a correlação (tomando \mu_{\infty}/\mu_{s}\approx1 então o fator de viscosidade fica \approx1^{0{,}25}=1):
\mathrm{Nu}_{D}=2+\Big(0{,}4\cdot 53{,}34+0{,}06\cdot 200{,}8\Big)\cdot (0{,}966)^{0{,}4}.
Calcule os parênteses:
0{,}4\cdot 53{,}34=21{,}34, \qquad 0{,}06\cdot 200{,}8=12{,}048,
21{,}34+12{,}048=33{,}388.
Potência de Pr:
(0{,}966)^{0{,}4}\approx 0{,}9863.
Multiplicando:
33{,}388\cdot 0{,}9863\approx 32{,}93.
Finalmente
\mathrm{Nu}_{D}=2+32{,}93\approx 34{,}93.

Passo 6

Cálculo de h, área A da esfera e \dot{Q}.
Relação entre Nusselt e h:
h=\frac{\mathrm{Nu}_{D}\,k}{D}.
Substituindo:
h=\frac{34{,}93\cdot 0{,}025}{0{,}02}.
\frac{0{,}025}{0{,}02}=1{,}25, \qquad h\approx 34{,}93\cdot 1{,}25\approx 43{,}66\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
Área superficial de uma esfera:
A=4\pi r^{2}=\pi D^{2}.
Substituindo D=0{,}02\\ \mathrm{m}:
A=\pi (0{,}02)^{2}=\pi\cdot 4\times10^{-4}\approx 1{,}2566\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}}.
Diferença de temperatura:
\Delta T=T_{s}-T_{\infty}=60-27=33\\ \mathrm{K}.
Agora \dot{Q}:
\dot{Q}=h\,A\,\Delta T = 43{,}66\cdot 1{,}2566\times10^{-3}\cdot 33.
Calcule passo a passo:
43{,}66\cdot 1{,}2566\times10^{-3}\approx 0{,}05486,
\dot{Q}\approx 0{,}05486\cdot 33 \approx 1{,}81\\ \mathrm{W}.
Resultado numérico arredondado com duas casas significativas: \dot{Q}\approx 1{,}81\\ \mathrm{W}.
Observações finais: o resultado depende das propriedades usadas; se na prova houver tabela com propriedades da amônia use esses valores e repita os mesmos passos. A ordem de grandeza \sim 1\text{ a }2\\ \mathrm{W} é a expectativa física para uma pequena esfera de 2\\ \mathrm{cm} com essa diferença de temperatura.

Resposta

\dot{Q}\approx 1{,}81\\ \mathrm{W}

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