Seja 
  um espaço vetorial com produto interno. O complemento ortogonal de um conjunto não-vazio 
  é o conjunto 
  formado pelos vetores 
  que são ortogonais a todos os vetores 
 . Para todo subespaço 
  mostre que
 ;
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial 
  com um produto interno (ou produto escalar). O enunciado fala sobre o complemento ortogonal de um conjunto 
 , que é o conjunto de todos os vetores em 
  que são ortogonais a cada vetor de 
 . Queremos mostrar que, para qualquer subespaço 
  de 
 , o espaço todo 
  pode ser escrito como a soma direta de 
  e do seu complemento ortogonal 
 . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como subespaço, complemento ortogonal e soma direta de subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa soma direta de dois subespaços. Dizemos que 
  se todo vetor 
  em 
  pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor de 
  e um vetor de 
 . Formalmente, para todo 
 , existe um único 
  e um único 
  tal que 
 .
Passo 3
Agora, vamos garantir que qualquer vetor 
  possa ser decomposto dessa maneira. Considere um vetor 
 . Queremos encontrar 
  e 
  tal que 
 .
Passo 4
Para encontrar 
  e 
 , usamos o teorema da projeção ortogonal. Esse teorema diz que dado um subespaço 
  de 
 , para qualquer vetor 
 , existe uma projeção ortogonal de 
  sobre 
 , denotada por 
 , que é o vetor em 
  mais próximo de 
 . Esse vetor 
  satisfaz 
 , ou seja, 
 .
Passo 5
Vamos verificar que 
  e 
 . Por definição da projeção ortogonal, 
  está em 
 . Além disso, 
  deve ser ortogonal a todos os vetores de 
 . Isso significa que para qualquer 
 , temos 
 , onde 
  denota o produto interno. Assim, 
  está em 
 .
Passo 6
Também precisamos garantir que essa decomposição seja única. Suponha que existam 
  e 
  tais que 
 . Subtraindo as duas igualdades, temos 
 . O lado esquerdo 
  está em 
  e o lado direito 
  está em 
 . A única possibilidade é que ambos sejam o vetor zero, ou seja, 
  e 
 . Assim, a decomposição é única.
Resposta
Portanto, mostramos que qualquer vetor 
  pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor de 
  e um vetor de 
 , ou seja, 
 .