1. Seja V um espaço vetorial real com produto interno \langle, \rangle . Mostre as seguintes propriedades:
    a. \|u+v\|^{2}=\|u\|^{2}+2\langle u, v\rangle+\|v\|^{2};
    b. \|u-v\|^{2}=\|u\|^{2}-2\langle u, v\rangle+\|v\|^{2};
    c. Desigualdade triangular \|u+v\| \leq\|u\|+\|v\|.

Passo 1

O enunciado pede para provar, num espaço vetorial real V com produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle, as identidades algébricas relativas à norma \|u\|=\sqrt{\langle u,u\rangle} e, em seguida, a desigualdade triangular \|u+v\|\le\|u\|+\|v\|. Vamos usar as propriedades de bilinearidade, simetria e positividade do produto interno, além da desigualdade de Cauchy–Schwarz.

Passo 2

Para mostrar
\|u+v\|^{2}=\|u\|^{2}+2\langle u,v\rangle+\|v\|^{2},
observe que
\|u+v\|^{2}=\langle u+v,\,u+v\rangle.
Pela bilinearidade e simetria do produto interno,
\langle u+v,u+v\rangle =\langle u,u\rangle+\langle u,v\rangle+\langle v,u\rangle+\langle v,v\rangle =\|u\|^{2}+2\langle u,v\rangle+\|v\|^{2}.

Passo 3

Para mostrar
\|u-v\|^{2}=\|u\|^{2}-2\langle u,v\rangle+\|v\|^{2},
calcule
\|u-v\|^{2}=\langle u-v,\,u-v\rangle =\langle u,u\rangle-\langle u,v\rangle-\langle v,u\rangle+\langle v,v\rangle =\|u\|^{2}-2\langle u,v\rangle+\|v\|^{2}.

Passo 4

Lembremos a desigualdade de Cauchy–Schwarz, válida em qualquer espaço com produto interno:
|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\;\|v\|.

Passo 5

Usando o resultado de (a) e Cauchy–Schwarz, temos
\|u+v\|^{2} =\|u\|^{2}+2\langle u,v\rangle+\|v\|^{2} \le\|u\|^{2}+2\|u\|\|v\|+\|v\|^{2} =(\|u\|+\|v\|)^{2}.
Como as normas são não negativas, extraindo raiz quadrada chega-se à desigualdade triangular:
\|u+v\|\le\|u\|+\|v\|.

Resposta

a. \|u+v\|^{2}=\|u\|^{2}+2\langle u,v\rangle+\|v\|^{2}
b. \|u-v\|^{2}=\|u\|^{2}-2\langle u,v\rangle+\|v\|^{2}
c. \|u+v\|\le\|u\|+\|v\|

Exercícios relacionados