- Seja V um espaço vetorial real com produto interno
,
a.
;
b.
;
c. Desigualdade triangular
.
a.
b.
c. Desigualdade triangular
Passo 1
O enunciado pede para provar, num espaço vetorial real
com produto interno
, as identidades algébricas relativas à norma
e, em seguida, a desigualdade triangular
. Vamos usar as propriedades de bilinearidade, simetria e positividade do produto interno, além da desigualdade de Cauchy–Schwarz.
Passo 2
Para mostrar
observe que
Pela bilinearidade e simetria do produto interno,
Passo 3
Para mostrar
calcule
Passo 4
Lembremos a desigualdade de Cauchy–Schwarz, válida em qualquer espaço com produto interno:
Passo 5
Usando o resultado de (a) e Cauchy–Schwarz, temos
Como as normas são não negativas, extraindo raiz quadrada chega-se à desigualdade triangular:
Resposta
a.
b.
c.
b.
c.