Seja f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} uma função contínua, tal que f(a)<a e f(b)>b. Nestas condições, mostre que existe pelo menos um número real c \in[a, b] tal que f\text{(c)}=c.

Passo 1

O enunciado considera uma função contínua f\colon[a,b]\to\mathbb{R} satisfazendo f(a)<a e f(b)>b. O objetivo é provar que existe ao menos um ponto fixo c\in[a,b] tal que f\text{(c)}=c. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 2

Defina a função auxiliar g\colon[a,b]\to\mathbb{R} por
g(x)=f(x)-x.
Como f é contínua e x\mapsto x também é contínuo, a diferença g(x) é contínua em [a,b].

Passo 3

Calcule os valores de g nas extremidades:
g(a)=f(a)-a<0
g(b)=f(b)-b>0
Logo, g(a) e g(b) têm sinais opostos.

Passo 4

Pelo Teorema do Valor Intermediário, como g é contínua em [a,b] e muda de sinal entre a e b, existe c\in[a,b] tal que
g\text{(c)}=0.
Daí segue
f\text{(c)}-c=0\quad\Longrightarrow\quad f\text{(c)}=c.

Resposta

Existe pelo menos um c\in[a,b] tal que f\text{(c)}=c.

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