Seja
uma função contínua, tal que
e
. Nestas condições, mostre que existe pelo menos um número real
tal que
.
Passo 1
O enunciado considera uma função contínua
satisfazendo
e
. O objetivo é provar que existe ao menos um ponto fixo
tal que
. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário.
Passo 2
Defina a função auxiliar
por
Como
é contínua e
também é contínuo, a diferença
é contínua em
.
Passo 3
Calcule os valores de
nas extremidades:
Logo,
e
têm sinais opostos.
Passo 4
Pelo Teorema do Valor Intermediário, como
é contínua em
e muda de sinal entre
e
, existe
tal que
Daí segue
Resposta
Existe pelo menos um
tal que
.