Seja
uma função. Mostre que
.
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma função
e queremos mostrar que a pré-imagem da união de dois conjuntos
e
em
é igual à união das pré-imagens de
e
. Para isso, vamos precisar conhecer os conceitos de pré-imagem de um conjunto e união de conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a pré-imagem de um conjunto. Para um conjunto
, a pré-imagem
é o conjunto de todos os elementos em
que são mapeados para algum elemento de
pela função
. Em fórmula:
Passo 3
Agora, queremos mostrar que:
Para provar isso, vamos demonstrar que cada lado da equação está contido no outro, ou seja:
Passo 4
Primeiro, vamos mostrar que
.
Seja
. Isso significa que
. A união
inclui todos os elementos que estão em
ou em
. Portanto,
está em
ou em
. Assim,
está em
ou em
, o que implica que
.
Passo 5
Agora, vamos mostrar que
.
Seja
. Isso significa que
ou
. Ou seja,
ou
. Logo,
está em
. Portanto,
.
Resposta
Concluímos que
.