Seja f: A -> B uma função. Mostre que f^-1(X ∪ Y) = f^-1(X) ∪ f^-1(Y).

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma função e queremos mostrar que a pré-imagem da união de dois conjuntos e em é igual à união das pré-imagens de e . Para isso, vamos precisar conhecer os conceitos de pré-imagem de um conjunto e união de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a pré-imagem de um conjunto. Para um conjunto , a pré-imagem é o conjunto de todos os elementos em que são mapeados para algum elemento de pela função . Em fórmula:

Passo 3

Agora, queremos mostrar que:
Para provar isso, vamos demonstrar que cada lado da equação está contido no outro, ou seja:

Passo 4

Primeiro, vamos mostrar que .
Seja . Isso significa que . A união inclui todos os elementos que estão em ou em . Portanto, está em ou em . Assim, está em ou em , o que implica que .

Passo 5

Agora, vamos mostrar que .
Seja . Isso significa que ou . Ou seja, ou . Logo, está em . Portanto, .

Resposta

Concluímos que .

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