Seja f contínua em \left[x_{0}, b\right) e deriável em \left(x_{0}, b\right) e suponha que existe \lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f^{\prime}(x). Mostre que f_{d}^{\prime}\left(x_{0}\right) existe e
\lim_{x\to -\infty} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L \in \mathbb{R}.
Pedido: mostrar que
\lim_{x\to -\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = L.
Passo 2
Primeira parte — estratégia e lembretes úteis (sem resolver ainda): vou usar o Teorema do Valor Médio (TVM). Antes, recorde o que é a derivada à direita e a definição do TVM.
Definição de derivada à direita em x_{0}: f_{d}'(x_{0}) existe se o limite
existe (é finito). Esse limite, se existir, é a derivada de f no ponto x_{0} tomada pela direita.
Teorema do Valor Médio (TVM): se uma função h é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b), então existe c\in(a,b) tal que
h'\text{(c)}=\frac{h(b)-h(a)}{b-a}.
Vou aplicar o TVM à função f no intervalo [x_{0},x] quando x>x_{0}.
Passo 3
Primeira parte — aplicação do TVM e conclusão formal.
Escolha x tal que x_{0}<x<b. Como f é contínua em [x_{0},x] e diferenciável em (x_{0},x), pelo TVM existe c\in(x_{0},x) tal que
f'\text{(c)}=\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}.
Note que o quociente à direita é exatamente o quociente das diferenças que aparece na definição da derivada à direita em x_{0}. Portanto, para cada x>x_{0} há um c\in(x_{0},x) com
\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=f'\text{(c)}.
Passo 4
Primeira parte — passar ao limite.
Agora faça x\to x_{0}^{+}. Quando x\to x_{0}^{+} os pontos c escolhidos (cada um entre x_{0} e x) satisfazem c\to x_{0}^{+}. Pela hipótese do problema, existe \lim_{t\to x_{0}^{+}} f'(t); chame esse limite de M, ou seja
M=\lim_{t\to x_{0}^{+}} f'(t).
Como f'\text{(c)}=\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} e c\to x_{0}^{+}, temos que f'\text{(c)}\to M. Portanto o quociente de diferença também tende a M:
\lim_{x\to x_{0}^{+}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} = M.
Isto mostra que a derivada à direita f_{d}'(x_{0}) existe e vale M.
Passo 5
Primeira parte — conclusão escrita com as fórmulas pedidas.
Pela hipótese, \dfrac{f'(x)}{g'(x)} - L \to 0 quando x\to -\infty.
Passo 7
Segunda parte — desigualdade chave com \varepsilon.
Seja \varepsilon>0. Pela hipótese \displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L, existe um número M (um número negativo suficientemente pequeno) tal que para todo x<M vale