Seja f uma função definida para todo n inteiro satisfazendo as seguintes condições f(2)=2 e f(p+q)=f(p) f(q). Determine f(0) e f(-2).

Passo 1

O enunciado dá uma função fcolon ZtoR (digamos) que satisfaz
f(2)=2
e
f(p+q)=f(p),f(q)
para todos p,qinZ. O objetivo é encontrar f(0) e f(-2) usando essa relação funcional.

Passo 2

Para p=q=0 na relação f(p+q)=f(p),f(q) temos
f(0+0)=f(0),f(0)
ou seja
f(0)^2 = f(0)
As soluções são f(0)=0 ou f(0)=1. Mas, se f(0)=0 então para qualquer n teríamos
f(n)=f(n+0)=f(n),f(0)=0,
contrariando f(2)=2neq0. Logo deve ser
f(0)=1

Passo 3

Agora use p=2 e q=-2. Então
f(2+(-2))=f(0)=f(2),f(-2)
Como f(0)=1 e f(2)=2, segue
1 = 2cdot f(-2),
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f(-2)=12

Resposta

f(0)=1
f(-2)=tfrac12

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