Seja f\) a função definida pelos valores
\[f(z)= \begin{cases}\frac{\bar{z}^{2}}{z}, & z \neq 0 \\\\ 0, & z=0\end{cases}
Mostre que se z=0\], então \(\Delta w / \Delta z=1 em cada ponto não nulo dos eixos real e imaginário do plano \Delta z (ou seja, \Delta z=\Delta x+i \Delta y com \Delta x=0 ou \Delta y=0 ). Em seguida, mostre que \Delta w / \Delta z=-1 em cada ponto não nulo ( \Delta x, \Delta x ) da reta \Delta y=\Delta x nesse plano. Conclua dessas observações que não existe f^{\prime}(0). Observe que, para obter esse resultado, não é suficiente considerar somente tendências horizontais e verticais para a origem do plano \Delta z.
quando \Delta z\to0 por diferentes direções no plano. Vamos mostrar que esse quociente vale 1 ao longo dos eixos real e imaginário e vale -1 ao longo da reta \Delta y=\Delta x, concluindo que não existe derivada em 0.
Como ao aproximar \Delta z\to0 pelos eixos obtemos \Delta w/\Delta z=1 e ao aproximar pela reta \Delta y=\Delta x obtemos \Delta w/\Delta z=-1, o limite não é único. Consequentemente, f'(0) não existe.