Seja f\) a função definida pelos valores \[f(z)= \begin{cases}\frac{\bar{z}^{2}}{z}, & z \neq 0 \\\\ 0, & z=0\end{cases}
Mostre que se z=0\], então \(\Delta w / \Delta z=1 em cada ponto não nulo dos eixos real e imaginário do plano \Delta z (ou seja, \Delta z=\Delta x+i \Delta y com \Delta x=0 ou \Delta y=0 ). Em seguida, mostre que \Delta w / \Delta z=-1 em cada ponto não nulo ( \Delta x, \Delta x ) da reta \Delta y=\Delta x nesse plano. Conclua dessas observações que não existe f^{\prime}(0). Observe que, para obter esse resultado, não é suficiente considerar somente tendências horizontais e verticais para a origem do plano \Delta z.

Passo 1

O enunciado define
f(z)= \begin{cases} \dfrac{\overline{z}^{2}}{z},&z\neq 0,\\\\ 0,&z=0, \end{cases}
e pede para estudar o quociente de diferença em 0, ou seja
\frac{\Delta w}{\Delta z} =\frac{f(\Delta z)-f(0)}{\Delta z} =\frac{f(\Delta z)}{\Delta z},
quando \Delta z\to0 por diferentes direções no plano. Vamos mostrar que esse quociente vale 1 ao longo dos eixos real e imaginário e vale -1 ao longo da reta \Delta y=\Delta x, concluindo que não existe derivada em 0.

Passo 2

Para \Delta z\neq0 temos
\frac{\Delta w}{\Delta z} =\frac{f(\Delta z)}{\Delta z} =\frac{\overline{\Delta z}^{2}}{\Delta z^{2}} =\Bigl(\frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z}\Bigr)^{2}.
Como \overline{\Delta z}/\Delta z=e^{-2i\arg(\Delta z)}, o quociente geral é
\Bigl(e^{-2i\arg(\Delta z)}\Bigr)^{2} =e^{-4i\arg(\Delta z)}.

Passo 3

Se \Delta z corre sobre o eixo real puro, então \arg(\Delta z)=0 ou \pi e
e^{-4i\arg(\Delta z)}=e^{0}=1 \quad\text{ou}\quad e^{-4i\pi}=1.
Se \Delta z corre sobre o eixo imaginário puro, então \arg(\Delta z)=\tfrac\pi2 ou -\tfrac\pi2 e
e^{-4i(\pm\pi/2)}=e^{\mp2i\pi}=1.
Logo, em qualquer ponto não nulo dos eixos real ou imaginário, \Delta w/\Delta z=1.

Passo 4

Na reta \Delta y=\Delta x temos \Delta z=\Delta x(1+i), logo
\frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z} =\frac{\Delta x(1-i)}{\Delta x(1+i)} =\frac{1-i}{1+i} =-i
e, portanto,
\frac{\Delta w}{\Delta z} =\Bigl(\frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z}\Bigr)^{2} =(-i)^{2}=-1.

Passo 5

Como ao aproximar \Delta z\to0 pelos eixos obtemos \Delta w/\Delta z=1 e ao aproximar pela reta \Delta y=\Delta x obtemos \Delta w/\Delta z=-1, o limite não é único. Consequentemente, f'(0) não existe.

Resposta

Não existe f'(0).

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