Seja f: I \rightarrow \mathbb{R} uma função. Mostre que se f é derivável em x \in I, então existe uma função contínua u: I \rightarrow \mathbb{R} tal que
f(y)-f(x)=(y-x)\left[f^{\prime}(x)+u(y)\right]
e
\lim _{y \rightarrow x} u(y)=0 .

Passo 1

O enunciado dá uma função f: I \to \mathbb{R} e a hipótese de que f é derivável num ponto fixo x\in I. O que ele pede: mostrar que existe uma função contínua u: I\to\mathbb{R} tal que, para todo y\in I,
f(y)-f(x)=(y-x)\bigl[f'(x)+u(y)\bigr],
e ainda que
\lim_{y\to x} u(y)=0.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: f é derivável em x, o que significa que o limite do quociente incremental existe e é igual a f'(x). Não há mais hipóteses extras (por exemplo, continuidade global ou derivabilidade em outros pontos) além de f ser derivável em x.

Passo 2

Lembrete da definição que vamos usar (aquela que cai direto na prova): dizer que f é derivável em x significa que existe o número real f'(x) tal que
\lim_{y\to x}\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=f'(x).
Isso é a definição de derivada no ponto x. Uma consequência importante (que vou usar) é que derivabilidade em x implica continuidade em x: isto é, f é contínua em x. Explico rapidinho por que: como o quociente \frac{f(y)-f(x)}{y-x} tem limite finito quando y\to x, a diferença f(y)-f(x) tende a 0, logo f(y)\to f(x).

Passo 3

Estratégia para a prova (isto é o que você deve escrever na hora da prova): definir explicitamente u em termos de f e f'(x), e então checar duas coisas: (i) que a identidade pedida é verdadeira e (ii) que u é contínua em todo I e tem limite 0 quando y\to x. Não tem mágica: a definição natural é
u(y):=\frac{f(y)-f(x)}{y-x}-f'(x)\quad\text{para }y\neq x.
Para completar a definição em todo I, definimos
u(x):=0.
Vou agora mostrar que essa escolha funciona.

Passo 4

Verificação da identidade pedida. Se y\neq x, usando a definição de u(y) temos
u(y)+f'(x)=\frac{f(y)-f(x)}{y-x},
multiplicando ambos os lados por (y-x) obtemos
(y-x)\bigl[f'(x)+u(y)\bigr]=f(y)-f(x),
que é exatamente a identidade exigida. Se y=x a identidade também vale porque f(y)-f(x)=0 e (y-x)\bigl[f'(x)+u(y)\bigr]=0\cdot(\cdots)=0. Portanto a identidade vale para todo y\in I.

Passo 5

Mostrando que u é contínua em y_0 para todo y_0\neq x. Seja y_0\in I com y_0\neq x. Note que a função
y\longmapsto \frac{f(y)-f(x)}{y-x}
é razão entre duas funções: o numerador f(y)-f(x) é contínuo em y_0 (pois f é contínua onde for derivável) e o denominador y-x é uma função contínua que em y_0 vale y_0-x\neq 0. Uma razão de funções contínuas é contínua num ponto onde o denominador é não nulo. Logo a função y\mapsto \frac{f(y)-f(x)}{y-x} é contínua em y_0. Como u(y) é essa função menos a constante f'(x), concluímos que u é contínua em y_0. Assim u é contínua em todo ponto de I\setminus\{x\}.

Passo 6

Mostrando que \lim_{y\to x}u(y)=0 (a parte crucial). Pela definição de derivada temos
\lim_{y\to x}\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=f'(x).
Subtraindo f'(x) em ambos os lados do limite obtemos
\lim_{y\to x}\left(\frac{f(y)-f(x)}{y-x}-f'(x)\right)=0.
Mas para y\neq x a expressão entre parênteses é exatamente u(y). Portanto
\lim_{y\to x} u(y)=0.
Se você preferir um argumento \varepsilon- \delta (útil na prova): dado \varepsilon>0, pela derivabilidade existe \delta>0 tal que 0<|y-x|<\delta implica \bigl|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}-f'(x)\bigr|<\varepsilon. Isso é |u(y)|<\varepsilon, mostrando o limite nulo.

Passo 7

Concluindo continuidade de u em x. Já mostramos que \lim_{y\to x}u(y)=0 e definimos u(x)=0. Assim u é contínua em x (pois o valor da função no ponto coincide com o limite). Juntando com o resultado do Passo 5, u é contínua em todo I.

Passo 8

Resumo final e observação prática para a prova: a construção que sempre funciona é
u(y)=\begin{cases} \displaystyle \frac{f(y)-f(x)}{y-x}-f'(x), & y\neq x,\\[6pt] 0, & y=x. \end{cases}
Com essa definição a identidade pedida é imediata para y\neq x e válida também em y=x, e a continuidade de u em I mais \lim_{y\to x}u(y)=0 seguem diretamente da definição de derivada. Dica prática: na prova, escreva exatamente essa definição e use o fato básico “limite do quociente incremental = derivada” para mostrar o limite nulo.]

Resposta

Defina u(y)=\begin{cases} \displaystyle \frac{f(y)-f(x)}{y-x}-f'(x), & y\neq x,\\[6pt] 0, & y=x. \end{cases}
Então f(y)-f(x)=(y-x)\bigl[f'(x)+u(y)\bigr] para todo y\in I, a função u é contínua em I e \displaystyle \lim_{y\to x}u(y)=0.]

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