1. Seja f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} uma função inteira tal que:
  • f(0)=1
  • f\left(z_{1}+z_{2}\right)=f\left(z_{1}\right) f\left(z_{2}\right), para quaisquer z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}

Passo 1

O enunciado nos dá uma função inteira f:\mathbb{C}\to\mathbb{C} tal que
  1. f(0)=1
  2. f(z_{1}+z_{2})=f(z_{1})\,f(z_{2}) para quaisquer z_{1},z_{2}\in\mathbb{C}.
Este é o clássico equacionamento funcional multiplicativo em todo o plano. Vamos usar a derivação (porque f é inteira, logo diferenciável em todo lugar) para transformar isso numa equação diferencial cuja solução conhecemos.

Passo 2

Derivando a identidade
f(z+w)=f(z)\,f(w)
em relação a z, com w fixo, obtemos
\frac{\partial}{\partial z}f(z+w)=f'(z+w) \quad\text{e}\quad \frac{\partial}{\partial z}\bigl(f(z)\,f(w)\bigr)=f'(z)\,f(w).
Logo
f'(z+w)=f'(z)\,f(w).
Agora basta escolher z=0. Isso dá
f'(w)=f'(0)\,f(w)\quad\forall\,w\in\mathbb{C}.
Denotando a=f'(0), chegamos à equação diferencial
f'(z)=a\,f(z).

Passo 3

A equação
f'(z)=a\,f(z)
é bem conhecida: sua solução geral é
f(z)=C\,e^{a z},
onde C é uma constante. Usamos agora f(0)=1:
f(0)=C\,e^{a\cdot 0}=C=1.
Portanto
f(z)=e^{a z},
com a=f'(0)\in\mathbb{C}.

Resposta

A única forma de f é
\boxed{f(z)=e^{a z}\quad\text{para algum }a\in\mathbb{C},\text{ onde }a=f'(0).}

Exercícios relacionados