- Seja
uma função inteira tal que:
-
-
, para quaisquer
Passo 1
O enunciado nos dá uma função inteira
tal que
-
-
para quaisquer .
Este é o clássico equacionamento funcional multiplicativo em todo o plano. Vamos usar a derivação (porque
é inteira, logo diferenciável em todo lugar) para transformar isso numa equação diferencial cuja solução conhecemos.
Passo 2
Derivando a identidade
em relação a
, com
fixo, obtemos
Logo
Agora basta escolher
. Isso dá
Denotando
, chegamos à equação diferencial
Passo 3
A equação
é bem conhecida: sua solução geral é
onde
é uma constante. Usamos agora
:
Portanto
com
.
Resposta
A única forma de
é