1. Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} tal que, para cada x \in \mathbb{R}, temos que f(x)=5 x-2. Calcule:
    (a) \sum_{i=1}^{6}(f(i+1)-f(i))
    (b) f(1)
    (c) f(7)
    (d) f(7)-f(1)
    (e) \quad \begin{aligned} & \left(\sum_{i=1}^{6}(f(i+1)-f(i))\right) \\\ & (f(7)-f(1))\end{aligned}

Passo 1

O enunciado define a função
f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)=5x-2
e pede:
(a) \sum_{i=1}^{6}\bigl(f(i+1)-f(i)\bigr),
(b) f(1),
(c) f(7),
(d) f(7)-f(1),
(e) o produto entre o resultado do item (a) e o resultado do item (d).
Vamos usar a linearidade de f para simplificar cada parte.

Passo 2

Como f é linear, a diferença
f(i+1)-f(i)
é constante em i. De fato,
f(i+1)-f(i)=\bigl[5(i+1)-2\bigr]-\bigl[5i-2\bigr]=5i+5-2-5i+2=5.

Passo 3

Para a soma telescópica ou soma de termos iguais, temos
\sum_{i=1}^{6}\bigl(f(i+1)-f(i)\bigr) =\sum_{i=1}^{6}5 =6\cdot5 =30.

Passo 4

Para f(1), basta substituir x=1 em f(x)=5x-2:
f(1)=5\cdot1-2=3.

Passo 5

Para f(7), substituímos x=7:
f(7)=5\cdot7-2=35-2=33.

Passo 6

O item (d) é a diferença entre f(7) e f(1):
f(7)-f(1)=33-3=30.

Passo 7

Finalmente, o item (e) pede o produto dos resultados de (a) e (d):
30 \times 30 =900.

Resposta

(a) 30
(b) 3
(c) 33
(d) 30
(e) 900

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