Seja
o espaço vetorial das funções
. Mostre que
,
e
são subespaços vetoriais de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que três conjuntos de funções,
,
e
, são subespaços vetoriais do espaço de todas as funções reais
. Isso está ligado ao estudo de álgebra linear, mais especificamente aos subespaços vetoriais. Para provar que um conjunto é subespaço, precisamos verificar três coisas: se ele contém o vetor zero, se é fechado para adição e se é fechado para multiplicação por escalar. Vamos resolver isso passo a passo para cada conjunto.
Passo 2
Verificando
:
Primeiro, precisamos ver se a função zero está em
. A função zero é aquela que dá zero para todo
.
- Vetor Zero:
, então a função zero está em . - Fechamento para Adição: Se
e estão em , então e . A soma , então também está em . - Fechamento para Escalar: Se
está em e é um escalar, então , então está em .
Como todos os três critérios são atendidos,
é um subespaço vetorial.
Passo 3
Verificando
:
Agora, vamos verificar
.
- Vetor Zero: Para a função zero,
e , então , logo a função zero está em . - Fechamento para Adição: Se
e estão em , então e . A soma , então está em . - Fechamento para Escalar: Se
está em e é um escalar, então , então está em .
Com isso,
também atende aos três critérios e é um subespaço vetorial.
Passo 4
Verificando
:
Por último, vamos ver
.
- Vetor Zero: Para a função zero,
, então a função zero está em . - Fechamento para Adição: Se
e estão em , então e . A soma , então está em . - Fechamento para Escalar: Se
está em e é um escalar, então , então está em .
Portanto,
também satisfaz todos os três critérios e é um subespaço vetorial.
Resposta
Os conjuntos
,
e
são todos subespaços vetoriais de
.