Seja F(R) o espaço vetorial das funções f: R R. Mostre que U=f in F(R) mid f(1)=0, W=f in F(R) mid f(3)=f(1) e Z=f in F(R) mid f(-x)=-f(x) são subespaços vetoriais de F(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que três conjuntos de funções, , e , são subespaços vetoriais do espaço de todas as funções reais . Isso está ligado ao estudo de álgebra linear, mais especificamente aos subespaços vetoriais. Para provar que um conjunto é subespaço, precisamos verificar três coisas: se ele contém o vetor zero, se é fechado para adição e se é fechado para multiplicação por escalar. Vamos resolver isso passo a passo para cada conjunto.

Passo 2

Verificando :
Primeiro, precisamos ver se a função zero está em . A função zero é aquela que dá zero para todo .
  1. Vetor Zero: , então a função zero está em .
  2. Fechamento para Adição: Se e estão em , então e . A soma , então também está em .
  3. Fechamento para Escalar: Se está em e é um escalar, então , então está em .
Como todos os três critérios são atendidos, é um subespaço vetorial.

Passo 3

Verificando :
Agora, vamos verificar .
  1. Vetor Zero: Para a função zero, e , então , logo a função zero está em .
  2. Fechamento para Adição: Se e estão em , então e . A soma , então está em .
  3. Fechamento para Escalar: Se está em e é um escalar, então , então está em .
Com isso, também atende aos três critérios e é um subespaço vetorial.

Passo 4

Verificando :
Por último, vamos ver .
  1. Vetor Zero: Para a função zero, , então a função zero está em .
  2. Fechamento para Adição: Se e estão em , então e . A soma , então está em .
  3. Fechamento para Escalar: Se está em e é um escalar, então , então está em .
Portanto, também satisfaz todos os três critérios e é um subespaço vetorial.

Resposta

Os conjuntos , e são todos subespaços vetoriais de .

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