Seja f: R^n R uma função tal que f(t x)=t f(x) para todo t in R, t neq 0, e todo x in R^n. Mostre que, para todo v in R^n, temos
partial fpartial v(0)=f(v)

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos uma função partial fpartial v(0) = f(v) que satisfaz a condição para todo , , e para todo . Precisamos mostrar que, para qualquer vetor , a derivada direcional de em 0 na direção de é igual a , ou seja:
Conteúdo da matéria: Vamos utilizar conceitos de funções homogêneas e derivadas direcionais.
O que vamos precisar: Definição de derivada direcional e a propriedade dada da função .

Passo 2

Definição de Derivada Direcional: A derivada direcional de uma função partial fpartial v(x) = limh to 0 f(x + h v) - f(x)h em um ponto partial fpartial v(0) = limh to 0 f(0 + h v) - f(0)h = limh to 0 f(h v) - f(0)h na direção de um vetor é dada por:
No nosso caso, queremos calcular , então substituímos :

Passo 3

Aplicando a propriedade dada: Sabemos que f(h v) = h f(v) para todo partial fpartial v(0) = limh to 0 h f(v) - f(0)h = limh to 0 ( f(v) - f(0)h ) . Vamos aplicar isso com e :
Substituindo na expressão da derivada:

Passo 4

Determinando f(0) = t f(0) : Vamos usar a condição dada . Como , temos:
Para que essa igualdade seja válida para todo , a única possibilidade é que .

Passo 5

Finalizando a derivada: Substituindo partial fpartial v(0) = limh to 0 ( f(v) - 0h ) = limh to 0 f(v) = f(v) na expressão da derivada:

Resposta

Portanto, para todo partial fpartial v(0) = f(v) , temos:

Exercícios relacionados