Seja
uma função tal que
para todo
, e todo
. Mostre que, para todo
, temos
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos uma função
que satisfaz a condição
para todo
,
, e para todo
. Precisamos mostrar que, para qualquer vetor
, a derivada direcional de
em 0 na direção de
é igual a
, ou seja:
Conteúdo da matéria: Vamos utilizar conceitos de funções homogêneas e derivadas direcionais.
O que vamos precisar: Definição de derivada direcional e a propriedade dada da função
.
Passo 2
Definição de Derivada Direcional: A derivada direcional de uma função
em um ponto
na direção de um vetor
é dada por:
No nosso caso, queremos calcular
, então substituímos
:
Passo 3
Aplicando a propriedade dada: Sabemos que
para todo
. Vamos aplicar isso com
e
:
Substituindo na expressão da derivada:
Passo 4
Determinando
: Vamos usar a condição dada
. Como
, temos:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, a única possibilidade é que
.
Passo 5
Finalizando a derivada: Substituindo
na expressão da derivada:
Resposta
Portanto, para todo
, temos: