Seja
uma função arbitrária definida na reta real.
a) Mostre que a função
definida por
é par.
b) Mostre que a função
definida por
é ímpar.
c) Verifique que
. (Observação: Nesse exercício você acabou de mostrar que uma função definida na reta pode ser escrita como a soma de uma função par e uma função ímpar!)
a) Mostre que a função
b) Mostre que a função
c) Verifique que
Passo 1
O enunciado dá uma função arbitrária
e define duas funções associadas:
As perguntas são:
a) Mostrar que é par (ou seja, verificar a propriedade que define uma função par).
b) Mostrar que é ímpar (ou seja, verificar a propriedade que define uma função ímpar).
c) Verificar que para todo
.
a) Mostrar que
b) Mostrar que
c) Verificar que
Passo 2
Primeiro lembrar o que significa “par”: uma função
é par se, para todo
,
Geometricamente: o gráfico de
é simétrico em relação ao eixo
. Vou usar essa definição diretamente.
Passo 3
Calcular
a partir da definição de
. Substituindo
na expressão:
Como
, isso vira
Passo 4
Agora note que a soma é comutativa, então
. Portanto
Como isso vale para todo
, concluímos que
satisfaz a definição de função par. Logo
é par.
Passo 5
Agora lembrar o que significa “ímpar”: uma função
é ímpar se, para todo
,
Geometricamente: o gráfico de
é simétrico em relação à origem.
Passo 6
Calcular
usando a definição de
:
Passo 7
Reescrevendo
como
, obtemos
Como isso vale para todo
,
satisfaz a definição de função ímpar. Logo
é ímpar.
Passo 8
Finalmente, verificar a decomposição. Somando
e
:
Juntando as frações (mesmo denominador) temos
Portanto, para todo
,
Passo 9
Um exemplo rápido para fixar: tome
.
que é par, e
que é ímpar. E
. Isso ajuda a ver na prática o que provamos.
Resposta
a)
é par:
.\n
b) é ímpar:
.\n
c) .
b)
c)