Seja f(x) uma função arbitrária definida na reta real.
a) Mostre que a função f^{+}(x) definida por
f^{+}(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}
é par.
b) Mostre que a função f^{-}(x) definida por
f^{-}(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}
é ímpar.
c) Verifique que f(x)=f^{+}(x)+f^{-}(x). (Observação: Nesse exercício você acabou de mostrar que uma função definida na reta pode ser escrita como a soma de uma função par e uma função ímpar!)

Passo 1

O enunciado dá uma função arbitrária f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} e define duas funções associadas:
f^{+}(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}, \qquad f^{-}(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}.
As perguntas são:
a) Mostrar que f^{+} é par (ou seja, verificar a propriedade que define uma função par).
b) Mostrar que f^{-} é ímpar (ou seja, verificar a propriedade que define uma função ímpar).
c) Verificar que f(x)=f^{+}(x)+f^{-}(x) para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Primeiro lembrar o que significa “par”: uma função g é par se, para todo x\in\mathbb{R},
g(-x)=g(x).
Geometricamente: o gráfico de g é simétrico em relação ao eixo y. Vou usar essa definição diretamente.

Passo 3

Calcular f^{+}(-x) a partir da definição de f^{+}. Substituindo -x na expressão:
f^{+}(-x)=\frac{f(-x)+f(-(-x))}{2}.
Como -(-x)=x, isso vira
f^{+}(-x)=\frac{f(-x)+f(x)}{2}.

Passo 4

Agora note que a soma é comutativa, então \dfrac{f(-x)+f(x)}{2}=\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}. Portanto
f^{+}(-x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}=f^{+}(x).
Como isso vale para todo x, concluímos que f^{+} satisfaz a definição de função par. Logo f^{+} é par.

Passo 5

Agora lembrar o que significa “ímpar”: uma função h é ímpar se, para todo x\in\mathbb{R},
h(-x)=-h(x).
Geometricamente: o gráfico de h é simétrico em relação à origem.

Passo 6

Calcular f^{-}(-x) usando a definição de f^{-}:
f^{-}(-x)=\frac{f(-x)-f(-(-x))}{2}=\frac{f(-x)-f(x)}{2}.

Passo 7

Reescrevendo \dfrac{f(-x)-f(x)}{2} como -\dfrac{f(x)-f(-x)}{2}, obtemos
f^{-}(-x)=-\frac{f(x)-f(-x)}{2}=-f^{-}(x).
Como isso vale para todo x, f^{-} satisfaz a definição de função ímpar. Logo f^{-} é ímpar.

Passo 8

Finalmente, verificar a decomposição. Somando f^{+}(x) e f^{-}(x):
f^{+}(x)+f^{-}(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}.
Juntando as frações (mesmo denominador) temos
f^{+}(x)+f^{-}(x)=\frac{f(x)+f(-x)+f(x)-f(-x)}{2}=\frac{2f(x)}{2}=f(x).
Portanto, para todo x,
f(x)=f^{+}(x)+f^{-}(x).

Passo 9

Um exemplo rápido para fixar: tome f(x)=x^{2}+x.
f^{+}(x)=\frac{(x^{2}+x)+((-x)^{2}+(-x))}{2}=\frac{x^{2}+x+x^{2}-x}{2}=\frac{2x^{2}}{2}=x^{2},
que é par, e
f^{-}(x)=\frac{(x^{2}+x)- (x^{2}-x)}{2}=\frac{2x}{2}=x,
que é ímpar. E x^{2}+x=f^{+}(x)+f^{-}(x). Isso ajuda a ver na prática o que provamos.

Resposta

a) f^{+}(x) é par: f^{+}(-x)=f^{+}(x).\n
b) f^{-}(x) é ímpar: f^{-}(-x)=-f^{-}(x).\n
c) f(x)=f^{+}(x)+f^{-}(x).