Seja f(x)=ll|x^2-5 x+4|x-1, & se x<1 a x+b, & se 1 <= x <= 2 raizx-raiz2+raizx-2raizx^2-4, & se x>2.
(a) Determine o domínio de f1(x)=|x^2-5 x+4|x-1 e analise lim x 1 f1(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o domínio da função e também analisar o limite dessa função quando se aproxima de 1. Para resolver isso, vamos precisar entender:
  • Domínio de uma função: os valores de para os quais a função está definida.
  • Limite: o valor que a função se aproxima quando se aproxima de determinado ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função f1(x) = |x^2 - 5x + 4|x - 1 .
A função está definida por:
x - 1 = 0 implies x = 1
Para determinar o domínio, precisamos identificar os valores de x^2 - 5x + 4 que não tornam a função indefinida. A função ficará indefinida quando o denominador for zero, ou seja, quando x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4) .
Resolvendo:
f1(x) = |(x - 1)(x - 4)|x - 1
Então, não está no domínio da função porque aí o denominador seria zero e a expressão não estaria definida.
Além disso, o numerador envolve uma expressão quadrática dentro do valor absoluto:
Podemos fatorar essa expressão:
Portanto:
O valor absoluto do numerador garante que o resultado seja sempre não negativo, mas precisamos lembrar que .
Então, o domínio de é todos os números reais menos .
Domínio:

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite de f1(x) = |(x - 1)(x - 4)|x - 1 quando f1(x) = |x - 4| se aproxima de 1, ou seja, limx to 1 f1(x) = limx to 1 |x - 4| .
Primeiro, relembrando nossa função:
|1 - 4| = | -3 | = 3
Podemos simplificar a expressão percebendo que , então não é zero e podemos simplificar:
Agora, a função simplificada é , que é bem mais fácil de lidar.
Agora, vamos calcular o limite:
Substituindo por 1:
Portanto, o limite de quando se aproxima de 1 é 3.

Resposta

O domínio de é todos os números reais menos , ou seja, .
E o limite de quando se aproxima de 1 é igual a 3.

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