Seja f: X \rightarrow Y uma aplicação e seja \left\{B_{\lambda}\right\}_{\lambda \in \Lambda} uma família de subconjuntos de Y. Prove que:
(a) f^{-1}\left(\bigcup_{\lambda} B_{\lambda}\right)=\bigcup_{\lambda} f^{-1}\left(B_{\lambda}\right) ;
(b) f^{-1}\left(\bigcap_{\lambda} B_{\lambda}\right)=\bigcap_{\lambda} f^{-1}\left(B_{\lambda}\right) ;
(c) para cada B \subseteq Y, f^{-1}\left(B^{C}\right)=f^{-1}(B)^{C};
(d) se A \subseteq X e B \subseteq Y, então
\left.f\left(f^{-1}(B)\right) \subset B \text { e } f^{-1}(f(A))\right) \supset A ;
(e) dê exemplos que mostrem que não valem as igualdades em (d);
(f) se f é sobrejetora, então f\left(f^{-1}(B)\right)=B.

Passo 1

O enunciado pede para provar várias propriedades envolvendo pré-imagem e imagem de conjuntos sob uma aplicação f\colon X\to Y. A definição fundamental é
f^{-1}\text{(C)}=\{\,x\in X\mid f(x)\in C\}.
Em cada item faremos uma prova “caça-elemento”, mostrando que um x pertence ao lado esquerdo se, e somente se, pertence ao lado direito.

Passo 2

Prova de
f^{-1}\Bigl(\bigcup_{\lambda}B_{\lambda}\Bigr)\;=\;\bigcup_{\lambda}f^{-1}(B_{\lambda}).
Seja x\in X. Então x\in f^{-1}(\bigcup_{\lambda}B_{\lambda}) \iff f(x)\in\bigcup_{\lambda}B_{\lambda} \iff existe algum \lambda tal que f(x)\in B_{\lambda} \iff existe \lambda tal que x\in f^{-1}(B_{\lambda}) \iff x\in\bigcup_{\lambda}f^{-1}(B_{\lambda}).

Passo 3

Prova de
f^{-1}\Bigl(\bigcap_{\lambda}B_{\lambda}\Bigr)\;=\;\bigcap_{\lambda}f^{-1}(B_{\lambda}).
Seja x\in X. Então x\in f^{-1}(\bigcap_{\lambda}B_{\lambda}) \iff f(x)\in\bigcap_{\lambda}B_{\lambda} \iff para todo \lambda, f(x)\in B_{\lambda} \iff para todo \lambda, x\in f^{-1}(B_{\lambda}) \iff x\in\bigcap_{\lambda}f^{-1}(B_{\lambda}).

Passo 4

Prova de
f^{-1}(B^{C}) \;=\;\bigl(f^{-1}(B)\bigr)^{C}.
Seja x\in X. Então x\in f^{-1}(B^{C}) \iff f(x)\in B^{C} \iff f(x)\notin B \iff x\notin f^{-1}(B) \iff x\in\bigl(f^{-1}(B)\bigr)^{C}.

Passo 5

Prova de
f\bigl(f^{-1}(B)\bigr)\subseteq B \quad\text{e}\quad A\subseteq f^{-1}\bigl(f(A)\bigr).
Para a primeira inclusão, seja y\in f(f^{-1}(B)). Então existe x\in f^{-1}(B) com y=f(x). Mas x\in f^{-1}(B) implica f(x)\in B, logo y\in B.
Para a segunda, seja x\in A. Então f(x)\in f(A), o que significa x\in f^{-1}(f(A)). Assim A\subseteq f^{-1}(f(A)).

Passo 6

Exemplos que mostram que as inclusões de (d) podem ser estritas:
  1. Defina f\colon\{1\}\to\{a,b\} por f(1)=a e tome B=\{a,b\}. Então
f^{-1}(B)=\{1\}, \quad f\bigl(f^{-1}(B)\bigr)=\{a\}\subsetneqq\{a,b\}=B.
  1. Defina f\colon\{1,2\}\to\{a\} por f(1)=f(2)=a e tome A=\{1\}. Então
f(A)=\{a\}, \quad f^{-1}\bigl(f(A)\bigr)=\{1,2\}\supsetneqq\{1\}=A.

Passo 7

Prova de que, se f é sobrejetora, então
f\bigl(f^{-1}(B)\bigr)=B.
Já vimos em (d) que sempre vale \,f(f^{-1}(B))\subseteq B.
Para a outra inclusão, seja y\in B. Como f é sobrejetora, existe x\in X com f(x)=y. Então x\in f^{-1}(B) e assim y=f(x)\in f(f^{-1}(B)). Combinando as duas inclusões obtemos a igualdade.

Resposta

(a) \displaystyle f^{-1}\bigl(\bigcup_{\lambda}B_{\lambda}\bigr)=\bigcup_{\lambda}f^{-1}(B_{\lambda})
(b) \displaystyle f^{-1}\bigl(\bigcap_{\lambda}B_{\lambda}\bigr)=\bigcap_{\lambda}f^{-1}(B_{\lambda})
(c) \displaystyle f^{-1}(B^{C})=\bigl(f^{-1}(B)\bigr)^{C}
(d) \displaystyle f\bigl(f^{-1}(B)\bigr)\subseteq B e \displaystyle A\subseteq f^{-1}\bigl(f(A)\bigr)
(e) Exemplos dados no Passo 6 mostram que as inclusões de (d) podem ser estritas.
(f) Se f é sobrejetora, então \displaystyle f\bigl(f^{-1}(B)\bigr)=B.

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