Seja
uma aplicação e seja
uma família de subconjuntos de
. Prove que:
(a)
(b)
(c) para cada
;
(d) se
e
, então
(e) dê exemplos que mostrem que não valem as igualdades em (d);
(f) se
é sobrejetora, então
.
(a)
(b)
(c) para cada
(d) se
(f) se
Passo 1
O enunciado pede para provar várias propriedades envolvendo pré-imagem e imagem de conjuntos sob uma aplicação
. A definição fundamental é
Em cada item faremos uma prova “caça-elemento”, mostrando que um
pertence ao lado esquerdo se, e somente se, pertence ao lado direito.
Passo 2
Prova de
Seja
. Então
existe algum
tal que
existe
tal que
.
Passo 3
Prova de
Seja
. Então
para todo
,
para todo
,
.
Passo 4
Prova de
Seja
. Então
Passo 5
Prova de
Para a primeira inclusão, seja
. Então existe
com
. Mas
implica
, logo
.
Para a segunda, seja
. Então
, o que significa
. Assim
.
Passo 6
Exemplos que mostram que as inclusões de (d) podem ser estritas:
- Defina
por e tome . Então
- Defina
por e tome . Então
Passo 7
Prova de que, se
é sobrejetora, então
Já vimos em (d) que sempre vale
.
Para a outra inclusão, seja . Como
é sobrejetora, existe
com
. Então
e assim
. Combinando as duas inclusões obtemos a igualdade.
Para a outra inclusão, seja
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) e
(e) Exemplos dados no Passo 6 mostram que as inclusões de (d) podem ser estritas.
(f) Se é sobrejetora, então
.
(b)
(c)
(d)
(e) Exemplos dados no Passo 6 mostram que as inclusões de (d) podem ser estritas.
(f) Se