Seja
. Como escolher o valor de
, para que a função
seja contínua em
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre continuidade de funções. A gente tem a função para
. A pergunta é: qual valor devemos atribuir a
para que a função seja contínua em
? Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como calcular o limite quando
se aproxima de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando
se aproxima desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, para
ser contínua em
, precisa ser que:
Então, nosso objetivo é calcular esse limite e igualar a
.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
tende a 0:
Podemos separar isso em dois limites:
O primeiro limite é simplesmente 1.
Passo 4
Agora, vamos analisar o segundo termo:
Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja:
Multiplicando todos por
(que está se aproximando de 0) temos:
Passo 5
Como
está se aproximando de 0, tanto
quanto
vão para 0. Pelo teorema do sanduíche (ou teorema do aperto), se uma função está entre duas funções que tendem ao mesmo limite, então ela também tende a esse limite. Portanto:
Passo 6
Voltando ao limite original:
Então, para que a função seja contínua em
, precisamos que
seja igual a esse limite.
Resposta
Para a função
ser contínua em
, devemos definir
.