Seja f(x) = 1 - x * sen(1/x), x != 0. Como escolher o valor de f(0), para que a função f seja contínua em x = 0 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre continuidade de funções. A gente tem a função para . A pergunta é: qual valor devemos atribuir a para que a função seja contínua em ? Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como calcular o limite quando se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando se aproxima desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, para ser contínua em , precisa ser que:
Então, nosso objetivo é calcular esse limite e igualar a .

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando tende a 0:
Podemos separar isso em dois limites:
O primeiro limite é simplesmente 1.

Passo 4

Agora, vamos analisar o segundo termo:
Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja:
Multiplicando todos por (que está se aproximando de 0) temos:

Passo 5

Como está se aproximando de 0, tanto quanto vão para 0. Pelo teorema do sanduíche (ou teorema do aperto), se uma função está entre duas funções que tendem ao mesmo limite, então ela também tende a esse limite. Portanto:

Passo 6

Voltando ao limite original:
Então, para que a função seja contínua em , precisamos que seja igual a esse limite.

Resposta

Para a função ser contínua em , devemos definir .

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