Seja
.
Encontre o domínio de
.
Encontre o domínio de
Passo 1
Então, a gente tem a função
. Nosso objetivo aqui é encontrar o domínio da derivada dessa função,
. Vamos usar conceitos de séries de potências e derivação de séries para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que essa série representa. A série
é uma série geométrica com razão
. Sabemos que uma série geométrica converge quando o valor absoluto da razão é menor que 1, ou seja,
.
Passo 3
Aplicando isso à nossa série, temos:
Isso significa que a série converge quando
está entre 1 e 3:
Passo 4
Agora, vamos somar a série. Como é uma série geométrica, a soma é dada por:
Então,
, válido para
.
Passo 5
Vamos derivar
para encontrar
:
A derivada existe enquanto o denominador for diferente de zero, ou seja,
.
Passo 6
Mas lembrando que a série original só converge para
, então a derivada
também estará definida nesse intervalo.
Resposta
O domínio de
é
.