Seja f(x)=sumn=0^+infty(-1)^n(x-2)^n.
Encontre o domínio de f^prime.

Passo 1

Então, a gente tem a função . Nosso objetivo aqui é encontrar o domínio da derivada dessa função, . Vamos usar conceitos de séries de potências e derivação de séries para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que essa série representa. A série é uma série geométrica com razão . Sabemos que uma série geométrica converge quando o valor absoluto da razão é menor que 1, ou seja, .

Passo 3

Aplicando isso à nossa série, temos:
|-(x-2)| < 1 implies |x-2| < 1
Isso significa que a série converge quando 1 < x < 3 está entre 1 e 3:

Passo 4

Agora, vamos somar a série. Como é uma série geométrica, a soma é dada por:
f(x) = 11 - r = 11 - (-(x-2)) = 11 + (x-2) = 1x - 1
Então, , válido para .

Passo 5

Vamos derivar f'(x) = ddx ( 1x - 1 ) = -1(x - 1)^2 para encontrar :
A derivada existe enquanto o denominador for diferente de zero, ou seja, .

Passo 6

Mas lembrando que a série original só converge para , então a derivada também estará definida nesse intervalo.

Resposta

O domínio de é .

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