Seja
é derivável em 2? Justifique
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida por partes:
O enunciado quer saber se a função
é derivável em
. Para descobrir isso, precisamos verificar se a derivada da função existe nesse ponto. Basicamente, vamos ver se a inclinação da função à esquerda de 2 é igual à inclinação à direita de 2.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função para
e para
.
Para
:
A derivada de
em relação a
é:
Para
:
A derivada de uma constante é zero:
Passo 3
Agora, vamos analisar o que acontece exatamente em
. Precisamos calcular os limites laterais da derivada nesse ponto.
Derivada pela esquerda de 2 (
):
Derivada pela direita de 2 (
):
Passo 4
Para que a função seja derivável em
, as derivadas pela esquerda e pela direita devem ser iguais. Vamos comparar:
Como as derivadas laterais são diferentes, a função não tem uma derivada definida em
.
Resposta
A função
não é derivável em
, porque as derivadas pela esquerda e pela direita são diferentes.