Seja f(x) = { x + 1, se x < 2; 1, se x ≥ 2 }
f é derivável em 2? Justifique

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida por partes:
O enunciado quer saber se a função é derivável em . Para descobrir isso, precisamos verificar se a derivada da função existe nesse ponto. Basicamente, vamos ver se a inclinação da função à esquerda de 2 é igual à inclinação à direita de 2.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função para e para .
Para :
A derivada de em relação a é:
Para :
A derivada de uma constante é zero:

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece exatamente em . Precisamos calcular os limites laterais da derivada nesse ponto.
Derivada pela esquerda de 2 ( ):
Derivada pela direita de 2 ( ):

Passo 4

Para que a função seja derivável em , as derivadas pela esquerda e pela direita devem ser iguais. Vamos comparar:
Como as derivadas laterais são diferentes, a função não tem uma derivada definida em .

Resposta

A função não é derivável em , porque as derivadas pela esquerda e pela direita são diferentes.

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