Seja
. Calcule a derivada parcial
, utilizando a definição (via limite).
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício onde temos a função
e precisamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos usar a definição de derivada parcial, que envolve limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de
em relação a
mede como a função muda quando apenas
varia, mantendo
constante. A definição matemática dessa derivada é:
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função
. Primeiro, calculamos
:
Vamos expandir isso:
E
Portanto,
Passo 4
Subtraímos
de
:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na definição do limite:
Podemos simplificar dividindo cada termo por
:
Passo 6
Finalmente, aplicamos o limite quando
tende a 0:
Resposta
A derivada parcial de
em relação a
é
.