Seja f uma função definida em R tal que, para todo x neq 1,-x^2+3 x <= f(x) <= x^2-1x-1. Faça o gráfico das funções g(x)=-x^2+3 x e h(x)=x^2-1x-1. Em seguida, calcule lim x 1 f(x) e justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para analisar uma função definida para todos os números reais, onde para todo , . A gente precisa desenhar os gráficos das funções e , e depois calcular o limite de quando se aproxima de 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções, gráficos e limites, especialmente o Teorema do Aperto (ou Teorema da Compressão).

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções e . A função é um polinômio de segundo grau, que gera uma parábola. Já parece ser uma fração, mas vamos simplificar para facilitar nosso trabalho.

Passo 3

Vamos simplificar h(x) = x^2 - 1x - 1 = (x - 1)(x + 1)x - 1 :
h(x) = x + 1
Para , podemos cancelar , ficando:
Então, para todo , .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de limx to 1 g(x) = limx to 1 (-x^2 + 3x) = -1^2 + 3(1) = -1 + 3 = 2 e limx to 1 h(x) = limx to 1 (x + 1) = 1 + 1 = 2 quando se aproxima de 1.
Para :
Para :

Passo 5

Sabemos que para todo limx to 1 f(x) = 2 , . Calculamos que ambos e são iguais a 2.
Pelo Teorema do Aperto, se e os limites de e são iguais, então:

Resposta

O limite de limx to 1 f(x) = 2 quando se aproxima de 1 é 2, ou seja:

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