Seja
uma função derivável tal que
. Calcule
e
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função
que é derivável, ou seja, sua derivada existe em todos os pontos do domínio dela. O enunciado nos apresenta o limite:
E nos pede para calcular três coisas:
- O limite de
quando se aproxima de 2. - O valor de
. - A derivada de
em 2, denotada por .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos comparar a expressão dada com a definição de derivada. A derivada de
em um ponto
é definida por:
No nosso caso, temos
, então a definição fica:
Comparando isso com o limite dado no enunciado:
Podemos ver que para as duas expressões serem iguais, deve-se ter:
Passo 3
Agora que sabemos que
, podemos usar a propriedade da continuidade. Como
é derivável em 2, ela também é contínua nesse ponto. A continuidade nos diz que:
Substituindo
, temos:
Passo 4
Por fim, vamos calcular a derivada
usando a definição da derivada:
Sabemos que
e que:
Portanto: