Seja f uma função derivável tal que lim x 2 f(x)-5x-2=10. Calcule lim x 2 f(x), f(2) e f^prime(2)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função limx 2 f(x) - 5x - 2 = 10 que é derivável, ou seja, sua derivada existe em todos os pontos do domínio dela. O enunciado nos apresenta o limite:
E nos pede para calcular três coisas:
  1. O limite de quando se aproxima de 2.
  2. O valor de .
  3. A derivada de em 2, denotada por .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos comparar a expressão dada com a definição de derivada. A derivada de f^prime(a) = limx a f(x) - f(a)x - a em um ponto f^prime(2) = limx 2 f(x) - f(2)x - 2 é definida por:
limx 2 f(x) - 5x - 2 = 10
No nosso caso, temos f(2) = 5 , então a definição fica:
Comparando isso com o limite dado no enunciado:
Podemos ver que para as duas expressões serem iguais, deve-se ter:

Passo 3

Agora que sabemos que limx 2 f(x) = f(2) , podemos usar a propriedade da continuidade. Como limx 2 f(x) = 5 é derivável em 2, ela também é contínua nesse ponto. A continuidade nos diz que:
Substituindo , temos:

Passo 4

Por fim, vamos calcular a derivada f^prime(2) = limx 2 f(x) - f(2)x - 2 usando a definição da derivada:
limx 2 f(x) - 5x - 2 = 10
Sabemos que f^prime(2) = 10 e que:
Portanto:

Resposta

limx 2 f(x) = 5, f(2) = 5 e f^prime(2) = 10

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