Seja a função f(x, y)=x^{3} y+x^{2} y^{4}. Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem de f.

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x,y)=x^{3}y+x^{2}y^{4}\, e pede: encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem de f.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é explicitamente \,f(x,y)=x^{3}y+x^{2}y^{4}\,.
  • Precisa-se de todas as segundas derivadas parciais: \,f_{xx}, f_{xy}, f_{yx}, f_{yy}\,.

Passo 2

O que é uma derivada parcial e como a calculamos (rápida revisão didática).
  • A derivada parcial de f em relação a x, escrita \,f_x(x,y)\,, é a derivada de f tratando y como constante. Ou seja: derivar cada termo em relação a x, mantendo y fixo.
  • Analogamente, \,f_y(x,y)\, é a derivada de f em relação a y, tratando x como constante.
  • Para produtos de funções, usa-se a regra do produto: se \,g(x)=u(x)\,v(x)\, então \,g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\,. Na diferenciação parcial a ideia é a mesma: ao derivar em relação a x um termo como \,x^{2}y^{4}\,, considera-se y^{4} constante e deriva-se apenas x^{2}.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Vou derivar termo a termo, explicando cada passo.
Derivando em relação a x:
f(x,y)=x^{3}y+x^{2}y^{4}.
  • Para \,x^{3}y\,, como y é constante, a derivada em x é \,3x^{2}y\,.
  • Para \,x^{2}y^{4}\,, y^{4} é constante, então a derivada em x é \,2x\,y^{4}\,.
Portanto,
f_{x}(x,y)=3x^{2}y+2x\,y^{4}.
Derivando em relação a y:
  • Para \,x^{3}y\,, x^{3} é constante, derivando em y \,x^{3}.
  • Para \,x^{2}y^{4}\,, x^{2} é constante, derivando em y pela regra da potência dá \,4y^{3}, então o termo vira \,4x^{2}y^{3}\,.
Portanto,
f_{y}(x,y)=x^{3}+4x^{2}y^{3}.

Passo 4

Agora calculamos as segundas derivadas parciais tomando as derivadas das primeiras derivadas.
Primeiro \,f_{xx}: derivar \,f_x(x,y)=3x^{2}y+2x\,y^{4}\, em relação a x (novamente y é constante).
  • Derivada de \,3x^{2}y\, em x é \,6x y\,.
  • Derivada de \,2x\,y^{4}\, em x é \,2 y^{4}\,.
Assim
f_{xx}(x,y)=6x y+2y^{4}.
Em seguida \,f_{xy}: derivar \,f_x(x,y)=3x^{2}y+2x\,y^{4}\, em relação a y (agora x é constante).
  • Derivada de \,3x^{2}y\, em y é \,3x^{2}\,.
  • Derivada de \,2x\,y^{4}\, em y é \,2x\cdot 4y^{3}=8x y^{3}\,.
Portanto
f_{xy}(x,y)=3x^{2}+8x y^{3}.

Passo 5

Calcular \,f_{yx} e \,f_{yy}.
Primeiro \,f_{yx}: derivar \,f_y(x,y)=x^{3}+4x^{2}y^{3}\, em relação a x (tratando y como constante).
  • Derivada de \,x^{3}\, em x é \,3x^{2}\,.
  • Derivada de \,4x^{2}y^{3}\, em x é \,8x y^{3}\, (pois y^{3} é constante e (4x^{2})' = 8x).
Logo
f_{yx}(x,y)=3x^{2}+8x y^{3}.
Repare que \,f_{xy}=f_{yx}\, neste caso; isso é esperado porque f é um polinômio (função suave) e, por um teorema clássico (teorema de Clairaut), as derivadas mistas contínuas são iguais.
Agora \,f_{yy}: derivar \,f_y(x,y)=x^{3}+4x^{2}y^{3}\, em relação a y.
  • Derivada de \,x^{3}\, em y é 0 (é constante em y).
  • Derivada de \,4x^{2}y^{3}\, em y é \,4x^{2}\cdot 3y^{2}=12x^{2}y^{2}\,.
Portanto
f_{yy}(x,y)=12x^{2}y^{2}.

Resposta

f_{xx}(x,y)=6x y+2y^{4}
f_{xy}(x,y)=3x^{2}+8x y^{3}
f_{yx}(x,y)=3x^{2}+8x y^{3}
f_{yy}(x,y)=12x^{2}y^{2}