Seja a função
. Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem de
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem de
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é explicitamente
. - Precisa-se de todas as segundas derivadas parciais:
.
Passo 2
O que é uma derivada parcial e como a calculamos (rápida revisão didática).
- A derivada parcial de
em relação a , escrita , é a derivada de tratando como constante. Ou seja: derivar cada termo em relação a , mantendo fixo. - Analogamente,
é a derivada de em relação a , tratando como constante. - Para produtos de funções, usa-se a regra do produto: se
então . Na diferenciação parcial a ideia é a mesma: ao derivar em relação a um termo como , considera-se constante e deriva-se apenas .
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Vou derivar termo a termo, explicando cada passo.
Derivando em relação a
:
- Para
, como é constante, a derivada em é . - Para
, é constante, então a derivada em é .
Portanto,
Derivando em relação a
:
- Para
, é constante, derivando em dá . - Para
, é constante, derivando em pela regra da potência dá , então o termo vira .
Portanto,
Passo 4
Agora calculamos as segundas derivadas parciais tomando as derivadas das primeiras derivadas.
Primeiro
: derivar
em relação a
(novamente
é constante).
- Derivada de
em é . - Derivada de
em é .
Assim
Em seguida
: derivar
em relação a
(agora
é constante).
- Derivada de
em é . - Derivada de
em é .
Portanto
Passo 5
Calcular
e
.
Primeiro
: derivar
em relação a
(tratando
como constante).
- Derivada de
em é . - Derivada de
em é (pois é constante e ).
Logo
Repare que
neste caso; isso é esperado porque
é um polinômio (função suave) e, por um teorema clássico (teorema de Clairaut), as derivadas mistas contínuas são iguais.
Agora
: derivar
em relação a
.
- Derivada de
em é (é constante em ). - Derivada de
em é .
Portanto